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2011年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答
第一试
一、（20分）试确定，对于怎样的正整数a，方程5x2?4(a?3)x?a2?29?0有正整数解？并求出方程的所有正整数解．
解：将方程改写为 (x?6)2?(a?2x)2?65， …………5’ 由于65表成两个正整数的平方和，只有两种不同的形式：65?12?82?42?72 ……10’ 所以，
???x?6?8?x?6?7 … ①，或 ? … ② ?a?2x?1a?2x?4???????x?6?1?x?6?4 ? … ③，或 ? … ④ …………15’ ???a?2x?8?a?2x?7由①得x?14（当a?29或27）；由②得x?13（当a?22或30）； 由③得x?5 （当a?2 或18）； 或 x?7（当a?6或22）；
由④得x?2（当a?11）；或 x?10（当a?13或27）． …………20’ 二、（25分）锐角三角形?ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO,BO,CO，分别与对边BC,CA,AB交于D,E,F；证明：
1AD?1BE?1CF?2R．
证： 延长AD交?O于M，由于AD,BE,CF共点O，
AODAD?S?OBCOESSOF,??OAC,??OAB, …………5’ S?ABCBES?BACCFS?CAB??OEBE?OFCF?1 … ① …………10’ ?1?R2R?DMRCF?1?RADBFODMEC则而
ODADODADR?DM2R?DMRBEOFCF，…………15’
同理有,
OEBE?1?,?1?， …………20’
代入①得，?1???R??R??R??1??1???????1 … ② AD??BE??CF??1CF?2R所以
1AD?1BE． …………25’
三、（25分）设k为正整数，证明：
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1、如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k?6也是两个连续正整数的乘积； 2、如果25k?6是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积． 证明：1、如果k是两个连续正整数的乘积，设k?n(n?1)，其中n为正整数，……5’则25k?6?25n(n?1)?6?25n2?25n?6?(5n?2)(5n?3)为两个连续正整数的乘积； …………10’
2、如果25k?6是两个连续正整数的乘积，设25k?6?m(m?1)，其中m为正整数，则100k?25?4m2?4m?1?(2m?1)2 … ① …………15’ 于是，2m?1是5的倍数，且
22m?15是奇数；设
2m?15?2n?1，由①得，
?2m?1?24k?1????(2n?1) … ② …………20’
?5?因此，
4k?(2n?1)?1?2n?(2n?2)，即k?n(n?1)，它是两个连续正整数的乘积．……25’
2
2011年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题
参考答案及评分标准
三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分） （11）（本小题满分20分）
若多项式m2?4加上一个单项式后，能成为一个含有m的完全平方式，求所有满足条件的单项式．
【解】设满足条件的单项式为A，则
当A??4时，m2?4?4?m2； ……………………………5分 当A??4m时，m2?4m?4?(m?2)2； …………………………15分
?m2?2???2?． 当A?时，m?4?1616?4?m4m42∴A??4、4m、?4m、
m416均满足条件．
可以证明满足条件的单项式有且仅有以上4个．………………………………20分 （12）（本小题满分20分）
如图，有任意四边形ABCD，点A?、B?、C?、D? 依次是顶点A、B、C、D关于点B、C、D、A的对
C
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C? B?D A B
A?初中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.cn/
称点，设S表示四边形ABCD的面积，S?表示四边形
A?B?C?D?的面积，试求
S?S的值．
【解】如图，连接AC，A?C,
根据题意，点B?是顶点B关于点C的对称点， 点A?是顶点A关于点B的对称点， ∴点C是线段BB?的中点，点B是线段AA?的中点． ∴S△BA?B??2S?BCA??2S△ABC． …………10分 同理可得：
S△DC?D??2S?ACD；S△CB?C??2S?BCDC? B?D C ； S△AD?A??2S?ABD．
A B
A? …………………15分
而S?S△ABC?S△ACD?S△BCD?S△ABD，
S??S?S△BA?B??S△CB?C??S△DC?D??S△AD?A?，
D?
∴S??5S，即
S?S?5． ………………………………………………………20分
（13）（本小题满分20分）
如图所示，在平行四边形ABCD中，BC?2AB， A MM D
是AD的中点，CE?AB于点E， 求证：?DME?3?AEM． 【证明】 如图，
B 延长EM交CD的延长线于点F，连接CM．
E C
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，AB?CD，BC?AD， ∴?AEM??F，?DCE??CEB． 又∵CE?AB，
∴?DCE??CEB?90?． ………5分 由于M是AD的中点， ∴AM?MD．
B C
E A M F D
又?AME??FMD，∴△AEM≌△DFM．∴EM?MF．
在Rt△FCE中，有?F??MCF． ……………10分 ∴?EMC??F??MCF?2?F．由已知BC?2AB， ∴AD?2CD．
∴MD?CD，有?DMC??DCM??F． ……………………15分 而?DME??EMC??DMC，∴?DME?3?F．
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又?AEM??F， ∴?DME?3?AEM． ………………………20分 （14）（本小题满分20分）
已知抛物线y?x2?mx?n上有一点M(x0,y0)位于x轴的下方． （Ⅰ）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点；
（Ⅱ）设已知抛物线与x轴的两个交点为A(x1,0)，B(x2,0)，其中x1?x2，求证：
x1?x0?x2；
（Ⅲ）当点M的坐标为(1,?2)时，求（Ⅱ）中的整数x1，x2．
【解】（Ⅰ）∵点M(x0,y0)在抛物线y?x2?mx?n上，且位于x轴的下方，
?y0?0,?2∴?m2m?4n 2.?y0?x0?mx0?n?(x0?)??24∴m2?4n?4(x0?m2)?4y0??4y0?0．
2这表明二次方程x2?mx?n?0根的判别式??m2?4n?0，则该方程有两个不相等的实数根，于是抛物线y?x2?mx?n必与x轴有两个交点． ……………5分
（Ⅱ）根据题意，抛物线与x轴有两个交点A(x1,0)，B(x2,0)， ∴y?x2?mx?n?(x?x1)(x?x2)．又点M(x0,y0)位于x轴的下方， ∴y0?x02?mx0?n?(x0?x1)(x0?x2)?0．又x1?x2，
∴x1?x0?x2． ……………………………………………10分 （Ⅲ）∵点M(1,?2)在已知抛物线y?x?mx?n上，
2且y?x?mx?n?(x?x1)(x?x2)，∴ ?2?(x1?1)(x2?1)．
2∵x1,x2是整数，x1?1,x2?1也均为整数，且由x1?x2，有x1?1?x2?1， ∴??x1?1??1,?x2?1?2或??x1?1??2,?x2?1?1. 即??x1?0,?x2?3或??x1??1,?x2?2. ……………………20分
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题
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2kx?a11．已知：不论k取什么实数，关于x的方程常数）的根总是x＝1，试求a、b的值。
3?x?bk6?1（a、b是
12.已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程
x?ax?b?0的两个根都大
21，求a?b?c的值.
13．如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线
y?23x2于P，Q两点.
（1）求证：∠ABP=∠ABQ；
（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60o，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.
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（第13题）