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2x?ax?b?0的两个根都大1，求a?b?c的值.
解：设方程x2?ax?b?0的两个根为?，?，其中?，?为整数，且?≤?， 则方程x2?cx?a?0的两根为??1，??1，由题意得
?????a，???1????1??a， ………………………………5分
两式相加，得???2??2??1?0，即 (??2)(??2)?3，
???2?1，???2??3，???2??1.所以，????2?3； 或? ………………………………10分
解得 ?????1，???1； 或?????5，????3.
又因为a?? （???），b???，c??（[??1）（???1）]，所以a?0，b??1，c??2；或者a?8，b?15，c?6，
故a?b?c??3，或29. ………………………………………………20分 （12）如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，
求证：点P为CH的中点.
证明：如图，延长AP交⊙O2于点Q， 连接AH，BD，QB， QC，QH.
因为AB为⊙O1的直径，
所以∠ADB?∠BDQ?90?．…………5分 故BQ为⊙O2的直径.
于是CQ?BC，BH?HQ. ……………………………………………………10分 又因为点H为△ABC的垂心，所以AH?BC，BH?AC. 所以AH∥CQ，AC∥HQ，
四边形ACQH为平行四边形. ………………………………………………15分
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所以点P为CH的中点. ………………………………………………20分 （13） 如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线
23交抛物线y?x于P，Q两点.
2（Ⅰ）求证：∠ABP=∠ABQ； （Ⅱ）若点A的坐标为（0，1）， 且∠PBQ=60o，试求所有满足条件的 直线PQ的函数解析式.
解：（Ⅰ）如图，分别过点P， Q作y轴的垂线，垂足分别为C， D. 设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，-t）. 设直线PQ的函数解析式为y?kx?t,
（xQ，yQ）. （xP，yP）并设P，Q的坐标分别为 ,
?y?kx?t，22?由? 得x?kx?t?0， 22y?x，3?3?于是 xPxQ??32t，即 t??232xPxQ.于是， xP?xQ?222??32BDyQ?t3BCyP?txP?txQ?t222323?323xPxQxPxQ2?323xP(xP?xQ)??xQ(xQ?xP)xPxQ. …………5分
又因为
PCQD??xPxQ，所以
BCBD?PCQD.
因为∠BCP?∠BDQ?90?，所以△BCP∽△BDQ.
故∠ABP=∠ABQ. …………………………………………………………10分
（Ⅱ）解法一 设PC?a，DQ?b，不妨设a≥b>0， 由（Ⅰ）可知
∠ABP=∠ABQ?30?，BC=3a，BD=3b，
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所以 AC=3a?2，AD=2?3b. 因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ.
PCDQACADab3a?22?3b于是
?，即
?．所以a?b?3ab．
由（Ⅰ）中xPxQ??32t，即?ab??32，所以ab?32，a?b?332 ，于是，可求得a?2b?3 . 322332将b?代入y?x，得到点Q的坐标（2，
12）. …………………15分
再将点Q的坐标代入y?kx?1，求得k??所以直线PQ的函数解析式为y??根据对称性知，
所求直线PQ的函数解析式为y??333333 .
x?1.
x?1，或y?33x?1. ………………20分
解法二 设直线PQ的函数解析式为y?kx?t,其中t?1. 由（Ⅰ）可知，∠ABP=∠ABQ?30?，所以BQ?2DQ. 故 2xQ?将yQ?232xQ?(yQ?1).
xQ代入上式，平方并整理得
224xQ?15xQ?9?0，即(4xQ?3)(xQ?3)?0.
324222所以 xQ?或3. 3232又由（Ⅰ），得xPxQ??t??32，xP?xQ?32k.
若xQ?，代入上式得 xP??3， 从而 k?2323(xP?xQ)??3333.
同理，若xQ?3， 可得xP??32， 从而 k?(xP?xQ)?.
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所以，直线PQ的函数解析式为
y??33x?1，或y?33x?1. ………………………………………20分
（14）已知ai?0，i?1， ，2 ?， 20，1且a1?a2???a20，证明：
i?j）中一定存在两个数ai，a（，使得aj?ai?a1，a，?，a20j2(1?ai)(1?aj)2010．
证明：令xi?20101?ai， i?1， 2， ? ， 2011， ……………………………………5分
则0?x2011?x2010???x1?2010. …………………………………10分 故一定存在1≤k≤2010， 使得xk?xk?1?1，从而
20101?ak?20101?ak?1?1． …………………………………15分
即 ak?1?ak?(1?ak)(1?ak?1)2010． …………………………………………20分
2011年全国初中数学竞赛（海南赛区）
初 赛 试 卷
19．如图10，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的
一个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q． （1）若CP平分∠ACB，求证：AP =2QO． （2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题.
① 把线段PC绕点P旋转90°，使点C落在点E处，并连接AE．设线段BP的长度
为x，△APE的面积为S. 试求S与x的函数关系式； ② 求出S的最大值，判断此时点P所在的位置．
A
P
B
O Q D C
图10
20．文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须
乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二
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等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2∶1，．．．．．文昌到三亚的火车票价格（部分）如下表所示：
运行区间 上车站 文昌
下车站 三亚
公布票价 一等座 81（元）
二等座 68（元）
学生票 二等座 51（元）
（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其
余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经
济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式． （3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多
少钱？最多要花多少钱？
三、解答题（本大题满分30分，每小题15分） 19.（1）证明：过点O作OM//AB交PC于点M，
则∠COM=∠CAB.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ OA=OC，∠CAB=∠CBD=∠COM=45°, ∴ AP=2OM. 又∵ ∠1=∠2,
∴ ∠1+∠COM=∠2+∠CBD, 即 ∠OMQ=∠OQM.
∴ OM=OQ ∴ AP=2OQ．
（本小题也可以过点A作直线平行于OQ证明）
F
A
图10
E 3 D 1 2 C
O M Q G E P B （2）根据题意作出图形，如图10所示
①ⅰ、当PC绕点P逆时针旋转90°时，作EF⊥AB交BA延长线于点F,
则∠EFP=∠PBC=90°，∠3+∠CPB=90°. 又∠2+∠CPB=90°,∴∠3=∠2.
又PE由PC绕点P旋转形成 ∴PE=PC ∴△EPF≌△CPB. ∴EF=BP=x, ∴AP=1－x ∴S?APE?12AP?EF?12x?212(1?x)x.
∴△APE的面积S与x的函数关系式为S??12x （0＜x＜1）.
ⅱ、当PC绕点P顺时针旋转90°时，作EG⊥AB交AB延长线于点G, 则同理可得△EPG≌△CPB，EG=BP=x. ∴△APE的面积S与x的函数关系式为S??12x?212x 12x?2由ⅰ、ⅱ可得△APE的面积S与x的函数关系式为S??②由①知S与x的函数关系式为S??即S??12(x?12)?212＜xx，（0＜1）
12x?212x，（0＜x＜1）
18，（0＜x＜1）
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