首先祝愿天下考研人终成正果
问?为何值时,线性方程组
x1?x3??
4x1?x2?2x3???2 6x1?x2?4x3?2??3
有解,并求出解的一般形式.
八、（本题满分8分）
假设?为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明 (1)
1?为A?1的特征值. (2)
A?为A的伴随矩阵A*的特征值.
九、（本题满分9分）
设半径为R的球面?的球心在定球面x2?y2?z2?a2(a?0)上,问当R为何值时,球面?在定球面内
部的那部分的面积最大?
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8,则和事件A?B的概率P(A?B)=____________.
(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.
(3)若随机变量?在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2??x?1?0有实根的概率是____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
x??t?2
(1)过点M(1,2?1)且与直线 y?3t?4垂直的平面方程是_____________.
z?t?1
(2)设a为非零常数,则lim(x?ax??x?a)x=_____________.
(3)设函数f(x)? 1x?10x?1,则f[f(x)]=_____________.
(4)积分
?22y20dx?xe?dy的值等于_____________.
(5)已知向量组α1?(1,2,3,4),α2?(2,3,4,5),α3?(3,4,5,6),α4?(4,5,6,7),
则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
?x(1)设f(x)是连续函数,且F(x)??exf(t)dt,则F?(x)等于
(A)?e?xf(e?x)?f(x)
(B)?e?xf(e?x)?f(x)
(C)e?xf(e?x)?f(x)
(D)e?xf(e?x)?f(x)
(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数
f(n)(x)是
(A)n![f(x)]n?1 (B)n[f(x)]n?1
(C)[f(x)]2n
(D)n![f(x)]2n
?(3)设a为常数,则级数
?[sin(na)n?1n2?1n] 首先祝愿天下考研人终成正果
(A)绝对收敛
(B)条件收敛 (C)发散 (D)收敛性与a的取值有关
(4)已知f(x)在x?0的某个邻域内连续,且f(0)?0,limf(x)x?01?cosx?2,则在点x?0处f(x)
(A)不可导 (B)可导,且f?(0)?0 (C)取得极大值
(D)取得极小值
(5)已知β1、
β2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX?0的基础解析,k1、k2为任意常数,则方程组AX?b的通解(一般解)必是
(A)kkβ?β21α1?2(α1?α2)?12
(B)kkβ?β21α1?2(α1?α2)?12
(C)k(ββ?β21α1?k21?β2)?12
(D)k(ββ?β21α1?k21?β2)?12
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求?1ln(1?x)0(2?x)2dx.
(2)设z?f(2x?y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求
?2z?x?y. (3)求微分方程y???4y??4y?e?2x的通解(一般解).
四、(本题满分6分) ?求幂级数
?(2n?1)xn的收敛域,并求其和函数.
n?0
五、(本题满分8分) 求曲面积分
I???yzdzdx?2dxdy
S其中S是球面x2?y2?z2?4外侧在z?0的部分.
六、（本题满分7分）
设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)?f(b).证明在(a,b)内至少存在一点?,使得f?(?)?0. 七、（本题满分6分） 设四阶矩阵
??1?100??2134?B??01?10??213???001?1??,C??0?021?? ?0001???0?0002??且矩阵A满足关系式
A(E?C?1B)?C??E
其中E为四阶单位矩阵,C?1表示C的逆矩阵,C?表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.
八、（本题满分8分）
求一个正交变换化二次型f?x2x221?42?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3成标准型.
九、（本题满分8分）
质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过
程中受变力F?作用(见图).F?的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于??2.求变力F对质点P所作的功.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机变量X的概率密度函数
f(x)?12e?x,???x???
则X的概率分布函数F(x)=____________.
(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率P(AB)=____________.
(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即P{X?k}?2ke?2k!,k?0,1,2,?,则
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随机变量Z?3X?2的数学期望E(Z)=____________.
十一、（本题满分6分）
设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,y?x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及
1991年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
随机变量Z?2X?1的方差D(Z).
d2y(1)设,则2=_____________.
dxy?cost(2)由方程xyz?=_____________.
x?1?t2
x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz
(3)已知两条直线的方程是l1:程是_____________.
x?1y?2z?3x?2y?1z??;l2:??.则过l1且平行于l2的平面方10?1211(4)已知当x?0时,(1?ax)?1与cosx?1是等价无穷小,则常数a=_____________.
123?5?2(5)设4阶方阵A???0??00?100??,则A的逆阵A?1=_____________. 01?2??011?20二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)曲线y?1?e?x1?e2?x2
(B)仅有水平渐近线
(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线
(A)没有渐近线 (C)仅有铅直渐近线
(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)??2?0tf()dt?ln2,则f(x)等于 2
(B)eln2 (D)e?ln2
?2x2x(A)eln2
xx
n?1
?
(C)e?ln2
?(3)已知级数(A)3 (C)8
?(?1)n?1an?2,?a2n?1?5,则级数?an等于
n?1n?1 (B)7 (D)9
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(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(?1,1)和(?1,?1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则
??(xy?cosxsiny)dxdy等于
D(A)2??cosxsinydxdy
(B)2D??xydxdy
1D1(C)4??(xy?cosxsiny)dxdy
(D)0
D1(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有 (A)ACB?E
(B)CBA?E (C)BAC?E
(D)BCA?E
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
?
(1)求xlim(cos?0?x)2. (2)设n?是曲面2x?3y?z?6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u?6x2?8y2 222z在点P处沿方向n?的方向导数.
(3)
???(x2?y2?z)dv,其中?是由曲线 y2?2z?x?0绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z?4所围城的
立体.
四、(本题满分6分)
过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分
?L(1?y3)dx?(2x?y)dy的值最小.
五、(本题满分8分)
将函数f(x)?2?x(?1?x?1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数??12的和. n?1n 六、（本题满分7分）
设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3?12f(x)dx?f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使
3f?(c)?0.
七、（本题满分8分）
已知α1?(1,0,2,3),α2?(1,1,3,5),α3?(1,?1,a?2,1),α4?(1,2,4,a?8)及β?(1,1,b?3,5).
(1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?
(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、（本题满分6分）
设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A?E的行列式大于1. 九、（本题满分8分）
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的
倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)若随机变量X服从均值为2、方差为?2的正态分布,且P{2?X?4}?0.3,则P{X?0}=____________.
(2)随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积
成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于
?4的概率为____________.
十一、（本题满分6分）
设二维随机变量(X,Y)的密度函数为
x?2y)f(x,y)?2e?( x?0,y?00 其它
求随机变量Z?X?2Y的分布函数.
首先祝愿天下考研人终成正果
1992年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设函数y?y(x)由方程ex?y?cos(xy)?0确定,则
dydx=_____________.
(2)函数u?ln(x2?y2?z2)在点M(1,2,?2)处的梯度graduM=_____________.
(3)设f(x)??1???x?01?x20?x??,则其以2?为周期的傅里叶级数在点x??处收敛于_____________.
(4)微分方程y??ytanx?cosx的通解为y=_____________.
??a1b1a1b2?a1bn?(5)设A??a2b1a2b1?a?2bn????????,其中ai?0,bi?0,(i?1,2,?,n).则矩阵A的秩r(A)?anb1anb2?a?nbn?=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
x2?11(1)当x?1时,函数xx?1e?1的极限
(A)等于2 (B)等于0
(C)为?
(D)不存在但不为?
?(2)级数
?(?1)n(1?cosa)(常数a?0)n?1n (A)发散
(B)条件收敛
(C)绝对收敛
(D)收敛性与a有关
(3)在曲线x?t,y??t2,z?t3的所有切线中,与平面x?2y?z?4平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条
(D)不存在
(4)设f(x)?3x3?x2x,则使f(n)(0)存在的最高阶数n为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
?1??0?(5)要使ξ????1??0?,ξ2??1?都是线性方程组AX?0的解,只要系数矩阵A为
??2?????1??(A)??212?
(B)??20?1??011??
?01?1?(C)???102??01?1??
(D)??4?2?2??
??011??
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求limex?sinx?1x?01?1?x2.
(2)设z?f(exsiny,x2?y2),其中f具有二阶连续偏导数,求
?2z?x?y. (3)设f(x)?1?x2x?03?xx?0,求?f(x?2)dx.e1
四、(本题满分6分) 求微分方程y???2y??3y?e?3x的通解.
五、(本题满分8分) 计算曲面积分
??(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy,其中?为上半球面
?z?a2?x2?y2的上侧.
六、（本题满分7分）
设f??(x)?0,f(0)?0,证明对任何x1?0,x2?0,有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2). 七、（本题满分8分）
??yzi??zxj??xyk?的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x2y2z2在变力Fa2?b2?c2?1上第一卦限的