首先祝愿天下考研人终成正果
2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.
(2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.
(3)交换二次积分的积分次序:
?0y?1dy?1?2f(x,y)dx＝_____________.
(4)设A2?A?4E?O,则(A?2E)?1= _____________.
(5)D(X)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计P{X?E(X)?2}? _____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为
(A) (B) (C) (D)
(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则 (A)dz|(0,0)?3dx?dy
(B)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}
(C)曲线
z?f(x,y)y?0在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}
(D)曲线
z?f(x,y)y?0在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}
(3)设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?
(A)limf(1?cosh)h?0h2存在
(B) limf(1?eh)h?0h存在
(C)limf(h?sinh)f(h)h?0h2存在
(D)limf(2h)?h?0h存在
?1111?000?(4)设?A??1111????4000????1111?,B??0?000?,则A与B 0?1111????0000??(A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似
(D)不合同且不相似
(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y相关系数为(A) -1
(B)0
(C)
12 (D)1
三、(本题满分6分)
求?arctanexe2xdx. 首先祝愿天下考研人终成正果
四、(本题满分6分)
设函数z?f(x,y)在点(1,1)可微,且f(1,1)?1,fx?(1,1)?2,fy?(1,1)?3,?(x)?f(x,f(x,x)),求
ddx?3(x)x?1.
五、(本题满分8分)
1?x2?设f(x)?xarctanx x?0,将f(x)展开成x的幂级数,并求?(?1)n1 x?0n?11?4n2的和.
六、(本题满分7分) 计算I???2L(y?z2)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz,其中L是平面x?y?z?2与柱面x?y?1的交线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.
七、(本题满分7分)
设f(x)在(?1,1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0.证明:
(1)对于?x?(?1,0)?(0,1),存在惟一的?(x)?(0,1),使f(x)=f(0)+xf?(?(x)x)成立. (2)limx?0?(x)?0.5.
八、(本题满分8分)
设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程z?h(t)?2(x2?y2)h(t)(设长度单位为
厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?
九、(本题满分6分)
设α1,α2,?,αs为线性方程组AX?O的一个基础解系,
β1?t1α1?t2α2,β2?t1α2?t2α3,?,βs?t1αs?t2α1,
其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么条件时β1,β2,?,βs也为AX?O的一个基础解系?
十、(本题满分8分)
已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x?3Ax?2A2x.
(1)记P?(x,Ax,A2x),求B使A?PBP?1. (2)计算行列式A?E.
十一、(本题满分7分)
设某班车起点站上客人数X服从参数为?(??0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为
p(0?p?1),且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数,求:
(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率. (2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.
十二、(本题满分7分)
设X~N(?,?2)抽取简单随机样本X1,X2,?,X2n(n?2),
样本均值X?12nn2n?Xi,Y??(Xi?Xn?i?2X)2,求E(Y). i?1i?1首先祝愿天下考研人终成正果
2002年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)
???dxexln2x= _____________.
(2)已知ey?6xy?x2?1?0,则y??(0)=_____________.
(3)yy???y?2?0满足初始条件y(0)?1,y?(0)?12的特解是_____________.
(4)已知实二次型f(x)?a(x2221,x2,x31?x2?x3)?4x1x2?4x1x3?4x2x3经正交变换可化为标准型
f?6y21,则a=_____________.
(5)设随机变量X~N(?,?2),且二次方程y2?4y?X?0无实根的概率为0.5,则?=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)考虑二元函数f(x,y)的四条性质:
①f(x,y)在点(x0,y0)处连续, ②f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数连续, ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微, ④f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在. 则有:
(A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?①
(D)③?①?④
(2)设un1n?0,且limn??u?1,则级数?(?1)n?1(1nu?)为 nun?1(A)发散
(B)绝对收敛
(C)条件收敛
(D)收敛性不能判定.
(3)设函数f(x)在R?上有界且可导,则
(A)当xlim???f(x)?0时,必有xlim???f?(x)?0
(B)当xlim???f?(x)存在时,必有xlim???f?(x)?0
(C) 当xlim?0?f(x)?0时,必有xlim?0?f?(x)?0 (D) 当xlim?0?f?(x)存在时,必有xlim?0?f?(x)?0.
(4)设有三张不同平面,其方程为aix?biy?ciz?di(i?1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为fX(x)和fY(y),分布函数分别为
FX(x)和FY(y),则
(A)fX(x)＋fY(y)必为密度函数 (B) fX(x)fY(y)必为密度函数
(C)FX(x)＋FY(y)必为某一随机变量的分布函数 (D) FX(x)FY(y)必为某一随机变量的分布函数.
三、(本题满分6分)
设函数f(x)在x?0的某邻域具有一阶连续导数,且f(0)f?(0)?0,当h?0时,若
af(h)?bf(2h)?f(0)?o(h),试求a,b的值.
四、(本题满分7分)
已知两曲线y?f(x)与y??arctanxt2切线相同.求此切线的方程,并求极限
0e?dt在点(0,0)处的limn??nf(2n).
五、(本题满分7分) 计算二重积分
??emax{x2,y2}dxdy,其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}.
D
六、(本题满分8分)
设函数f(x)在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(a,b),终点
首先祝愿天下考研人终成正果
为(c,d). (3)当A,B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
记I??1y[1?y2f(xy)]dx?x2y2[yf(xy)?1]dy,
(1)证明曲线积分I与路径L无关.
(2)当ab?cd时,求I的值.
七、(本题满分7分)
? (1)验证函数y(x)??x3n (???x???)满足微分方程y???y??y?ex.
n?0(3n)!?(2)求幂级数y(x)??x3nn?0(3n)!的和函数.
八、(本题满分7分)
设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为D?{(x,y)|x2?y2?xy?75},小山的高度函数为h(x,y)?75?x2?y2?xy.
(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0,y0),写出g(x0,y0)的表达式.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
九、(本题满分6分)
已知四阶方阵A?(α1,α2,α3,α4), α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,
α1?2α2?α3.若β?α1?α2?α3?α4,求线性方程组Ax?β的通解.
十、(本题满分8分) 设A,B为同阶方阵,
(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.
十一、(本题满分7分) 设维随机变量X的概率密度为
1xf(x)?2cos2 0?x?x 0 其它对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于?3的次数,求Y2的数学期望.
十二、(本题满分7分) 设总体X的概率分布为 X 0 1 2 3 P ?2 2?(1??) ?2 1?2? 其中?(0???12)是未知参数,利用总体X的如下样本值
3,1,3,0,3,1,2,3.
求?的矩估计和最大似然估计值.
首先祝愿天下考研人终成正果
2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
1(1)lim(cosln(1?x2)x?0x) = .
(2)曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是 .
?(3)设x2??ancosnx(???x??),则a2= .
n?0(4)从R2的基α?1??1?1???0??,α2????1??到基β?1??1?1???1??,β2???2??的过渡矩阵为 . (5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?6x0?x?y?10其它,则P{X?Y?1}? .
(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(?,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则?的置信度为0.95的置信区间是 .
(注:标准正态分布函数值?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95.)
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设函数f(x)在(??,??)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有
(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点
(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且limn??an?0,limn??bn?1,limn??cn??,则必有
(A)an?bn对任意n成立 (B)bn?cn对任意n成立 (C)极限limn??ancn不存在
(D)极限limn??bncn不存在
(3)已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且f(x,y)?xyx?lim0,y?0(x2?y2)2?1,则
(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点 (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点 (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点
(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点 (4)设向量组I:α1,α2,?,αr可由向量组II:β1,β2,?,βs线性表示,则 (A)当r?s时,向量组II必线性相关 (B)当r?s时,向量组II必线性相关 (C)当r?s时,向量组I必线性相关
(D)当r?s时,向量组I必线性相关
(5)设有齐次线性方程组Ax?0和Bx?0,其中A,B均为m?n矩阵,现有4个命题: ①若Ax?0的解均是Bx?0的解,则秩(A)?秩(B) ②若秩(A)?秩(B),则Ax?0的解均是Bx?0的解
③若Ax?0与Bx?0同解,则秩(A)?秩(B) ④若秩(A)?秩(B), 则Ax?0与Bx?0同解 以上命题中正确的是 (A)①②
(B)①③
(C)②④
(D)③④
(6)设随机变量X~t(n)(n?1),Y?1X2,则 (A)Y~?2(n) (B)Y~?2(n?1)
(C)Y~F(n,1)
(D)Y~F(1,n)
三、(本题满分10分)
过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A.
(2)求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V.