首先祝愿天下考研人终成正果
1996年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设lim(x?2ax??x?a)x?8,则a=_____________.
(2)设一平面经过原点及点(6,?3,2),且与平面4x?y?2z?8垂直,则此平面方程为_____________. (3)微分方程y???2y??2y?ex的通解为_____________. (4)函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为
_____________.
?(5)设A是4?3矩阵,且A的秩r(A)?2,而B??102??020??103?,则r(AB)=_____________.
????二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把
所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)已知(x?ay)dx?ydy(x?y)2为某函数的全微分,a则等于
(A)-1 (B)0 (C)1
(D)2
(2)设f(x)具有二阶连续导数,且f?(0)?0,limf??(x)x?0x?1,则 (A)f(0)是f(x)的极大值 (B)f(0)是f(x)的极小值
(C)(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点
(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点
(3)设an?0(n?1,2,?),且
??a??n收敛,常数??(0,),则级数?(?1)n(ntan?)a2n n?12n?1n(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散
(D)散敛性与?有关
(4)设有f(x)连续的导数,f(0)?0,f?(0)?0,F(x)??x(x2?t2)f(t)dt,且当x?0时,F?(x)与xk0是
同阶无穷小,则k等于
(A)1
(B)2 (C)3
(D)4
a100b1(5)四阶行列式
0a2b200a的值等于
3b30b400a4(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4
(B)a1a2a3a4?b1b2b3b4 (C)(a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4)
(D)(a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线r?a(1?cos?)的全长,其中a?0是常数.
(2)设x1?10,xn?1?6?xn(n?1,2,?),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)
(1)计算曲面积分
??(2x?z)dydz?zdxdy,其中S为有向曲面z?x2?y2(0?x?1),其法向量与z轴正S向的夹角为锐角. 2
(2)设变换u?x?2y?z?2v?x?ay可把方程6z?x2??x?y??2z?y2?0简化为?2z?u?v?0,求常数a.
五、(本题满分7分) ?求级数
?1n?1(n2?1)2n的和.
六、(本题满分7分)
设对任意x?0,曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于
1xx?0f(t)dt,求f(x)的一般表达式.
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七、（本题满分8分）
设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件f(x)?a,f??(x)?b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点.证明f?(c)?2a?b2.
八、（本题满分6分）
设A?I?ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明
(1)A2?A的充分条件是ξTξ?1. (2)当ξTξ?1时,A是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）
已知二次型f(xx2221,x2,3)?5x1?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2,
(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是____________.
(2)设?,?是两个相互独立且均服从正态分布N(0,(12)2)的随机变量,则随机变量???的数学期望E(???)=____________.
十一、（本题满分6分）
设?,?是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布率为P(??i)?13,i?1,2,3. 又设X?max(?,?),Y?min(?,?).
(1)写出二维随机变量的分布率: XY 1 2 3 1 2 3 (2)求随机变量X的数学期望E(X).
1997年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
3sinx?x2cos1(1)limxx?0(1?cosx)ln(1?x)=_____________.
?(2)设幂级数
??ann?1nx的收敛半径为3,则幂级数
的收敛区间为_____________.
n?1?nan(x?1)n?1?(3)对数螺线??e?在点(?,?)?(e2,?2)处切线的直角坐标方程为_____________.
?12?(4)设A??2??4t3??,B为三阶非零矩阵,且AB?O,则t=_____________. ??3?11??(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,
则第二个人取得黄球的概率是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
xy(1)二元函数f(x,y)?x2?y2 (x,y)?(0,0),在点(0,0)处
0 (x,y)?(0,0)(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在 (D)连续,偏导数不存在
(2)设在区间[a,b]上f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0.令
Sb11??af(x)dx,S2?f(b)(b?a),S3?2[f(a)?f(b)](b?a),
则
(A)S1?S2?S3
(B)S2?S1?S3
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(C)S3?S1?S2
(D)S2?S3?S1
(3)设F(x)??x?2?sintxesintdt,则F(x)
(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零
(D)不为常数
?a1??b1?(4)设α??a?????c1??1?2??,α2??b2?,α3??c2?,则三条直线
?a3????b3????c3??a1x?b1y?c1?0,a2x?b2y?c2?0, a3x?b3y?c3?0(其中a22i?bi?0,i?1,2,3)交于一点的充要条件是
(A)α1,α2,α3线性相关
(B)α1,α2,α3线性无关
(C)秩r(α1,α2,α3)?秩r(α1,α2)
(D)α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性无关
(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X?2Y的方差是
(A)8 (B)16 (C)28 (D)44
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)计算I????(x2?y2)dv,其中?为平面曲线
y2?2z所围
?x?0绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z?8成的区域.
(2)计算曲线积分
??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,其中c是曲线x2?y2?1x?y?z?2从z轴正向往z轴负
c向看c的方向是顺时针的.
(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t?0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k?0,求x(t).
四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)
(1)设直线l:x?y?b?0x?ay?z?3?0在平面?上,而平面?与曲面z?x2?y2相切于点(1,?2,5),求a,b之值.
(2)设函数f(u)具有二阶连续导数,而z?f(exsiny)满足方程?2z?2z2x?x2??y2?ez,求f(u).
五、(本题满分6分) 设f(x)连续,?(x)??10f(xt)dt,且limf(x)x?0x?A(A为常数),求??(x)并讨论??(x)在x?0处的连续性.
六、(本题满分8分)
设a11?0,an?1?2(a1n?a)(n?1,2,?),证明 n
(1)limx??an存在.
(2)级数??(ann?1a?1)收敛. n?1
七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)
(1)设B是秩为2的5?4矩阵,αT1]T,αT1?[1,1,2,3],α2?[?1,1,4,?3?[5,?1,?8,9]是齐次线性方程组
Bx?0的解向量,求Bx?0的解空间的一个标准正交基.
?
(2)已知ξ??1??1???是矩阵A??2?12?a3???5?的一个特征向量. ??1?????1b?2?? 1)试确定a,b参数及特征向量ξ所对应的特征值.
2)问A能否相似于对角阵?说明理由.
八、（本题满分5分）
设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.
(1)证明B可逆. (2)求AB?1.
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九、（本题满分7分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.
十、（本题满分5分） 设总体X的概率密度为
(??1)x?f(x)?0?x?10其它
其中???1是未知参数,X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量.
1998年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)lim1?x?1?x?2x?0x2=_____________.
(2)设z?1xf(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数,则?2z?x?y=_____________.
(3)设l为椭圆x2y24?3?1,其周长记为a,则??(2xy?3x2?4y2)ds=_____________. L(4)设A为n阶矩阵,A?0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值?,则(A*)2?E必
有特征值_____________.
(5)设平面区域D由曲线y?1x及直线y?0,x?1,x?e2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)连续,则
dxdx?0tf(x2?t2)dt= (A)xf(x2) (B)?xf(x2) (C)2xf(x2)
(D)?2xf(x2)
(2)函数f(x)?(x2?x?2)x3?x不可导点的个数是
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
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(3)已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y?y?x1?x2??,且当?x?0时,?是?x的高阶无穷小,y(0)??,则y(1)等于
(A)2? (B)? ??(C)e4
(D)?e4
(4)设矩阵
??a1b1c1??a2b2c?2??a3b? 3c3??是满秩的,则直线x?a3y?b3z?c3x?a1a?b?与直线?y?b1z?c11?a21?b2c1?c2a?a?
23b2?b3c2?c3(A)相交于一点
(B)重合 (C)平行但不重合
(D)异面
(5)设A,B是两个随机事件,且0?P(A)?1,P(B)?0,P(B|A)?P(B|A),则必有 (A)P(A|B)?P(A|B) (B)P(A|B)?P(A|B) (C)P(AB)?P(A)P(B)
(D)P(AB)?P(A)P(B)
三、(本题满分5分)
求直线l:x?11?y1?z?1?1在平面?:x?y?2z?1?0上的投影直线l0的方程,并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.
四、(本题满分6分)
确定常数?,使在右半平面x?0上的向量A(x,y)?2xy(x4?y2)?i?x2(x4?y2)?j为某二元函数
u(x,y)的梯度,并求u(x,y).
五、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.
设仪器的质量为m,体积为B,海水密度为?,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k?0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y?y(v).
六、(本题满分7分)
计算??axdydz?(z?a)2dxdy,其中为下半平面z??a2?x2?y2的上侧?(x2?y2?z2)12?,a为大于零的常数.
七、(本题满分6分)
?求lim?sin?nsin2??
x????n???sin??. ?n?111??n?2n?n??八、（本题满分5分） 设正向数列{an}单调减少,且???(?1)na1n发散,试问级数?(n?1a)n是否收敛?并说明理由. n?1n?1
九、（本题满分6分）
设y?f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1)试证存在x0?(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以
y?f(x)为曲边的曲边梯形面积.
(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f?(x)??2f(x)x,证明(1)中的x0是唯一的.
十、（本题满分6分）
?x????已知二次曲面方程x2?ay2?z2?2bxy?2xz?2yz?4可以经过正交变换??y???P?????化为椭圆柱面
??z???????方程?2?4?2?4,求a,b的值和正交矩阵P.
十一、（本题满分4分）