首先祝愿天下考研人终成正果
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx?0有解向量α,且Ak?1α?0.
证明:向量组α,Aα,?,Ak?1α是线性无关的.
十二、（本题满分5分） 已知方程组
a11x1?a12x2???a1,2nx2n?0(Ⅰ) a21x1?a22x2???a2,2nx2n?0 ?
an1x1?an2x2???an,2nx2n?0的一个基础解析为(bTTT11,b12,?,b1,2n),(b21,b22,?,b2,2n),?,(bn1,bn2,?,bn,2n).试写出线性方程组
b11y1?b12y2???b1,2ny2n?0(Ⅱ) b21y1?b22y2???b2,2ny2n?0 ?
bn1y1?bn2y2???bn,2ny2n?0的通解,并说明理由.
十三、（本题满分6分）
设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X?Y的方差.
十四、（本题满分4分）
从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小
于0.95,问样本容量n至少应取多大? 附:标准正态分布表
2?(x)??z1?t2??2?edt z 1.28 1.645 1.96 2.33 ?(x) 0.900 0.950 0.975 0.990
十五、（本题满分4分）
设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程.
附:t分布表
P{t(n)?tp(n)}?p
0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281
1999年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)lim(1x?0x2?1xtanx)=_____________. (2)dxdx?0sin(x?t)2dt=_____________. (3)y???4y?e2x的通解为y=_____________.
(4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 _____________.
(5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件:ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?12, 且已知P(A?B?C)?916,则P(A)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则
(A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数 (B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数
(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数 (D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数
?1?cosx(2)设f(x)???x x?0,其中g(x)是有界函数,则f(x)在x?0处 ??x2g(x) x?0首先祝愿天下考研人终成正果
(A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续
(C)连续,但不可导 (D)可导
?(3)设f(x)??x 0?x?1?,a?0??a?ncosn?x,???x???, ?2?2x 1S(x)?2?x?12n?1其中an?2?10f(x)cosn?xdx(n?0,1,2,?),则S(?52)等于
(A)
1
(B)?12 2 (C)34
(D)?34 (4)设A是m?n矩阵,B是n?m矩阵,则 (A)当m?n时,必有行列式|AB|?0
(B)当m?n时,必有行列式|AB|?0
(C)当n?m时,必有行列式|AB|?0
(D)当n?m时,必有行列式|AB|?0
(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则
(A)P{X?Y?0}?12
(B)P{X?Y?1}?12
(C)P{X?Y?0}?12
(D)P{X?Y?1}?12
三、(本题满分6分)
设y?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所确定的函数,其中f和F分别具有一
阶连续导数和一阶连续偏导数,求dzdx.
四、(本题满分5分)
求I??L(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy,其中a,b为正的常数,L为从点A(2a,0)沿曲线y?2ax?x2到点O(0,0)的弧.
五、(本题满分6分)
设函数y(x)(x?0)二阶可导且y?(x)?0,y(0)?1.过曲线y?y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切
线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y?y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S2,并设2S1?S2恒为1,求曲线y?y(x)的方程.
六、(本题满分7分)
论证:当x?0时,(x2?1)lnx?(x?1)2.
七、(本题满分6分)
为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N?1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)
八、(本题满分7分)
S为椭球面x22?y2设2?z2?1的上半部分,点P(x,y,z)?S,?为S在点P处的切平面,?(x,y,z)为点
O(0,0,0)到平面?的距离,求??z?(x,y,z)dS.
S
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九、(本题满分7分) ?设an??40tannxdx: ??(1)求
1(an?an?2)的值. n?1n??(2)试证:对任意的常数??0,级数an?收敛. n?1n
十、(本题满分8分)
??1c?
设矩阵A??a?5b3??,其行列式|A|??1,又A的伴随矩阵A*有一个特征值?0,属于?0的一
??1?c0?a??个特征向量为α?(?1,?1,1)T,求a,b,c和?0的值.
十一、(本题满分6分)
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m?n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分
必要条件是B的秩r(B)?n.
十二、(本题满分8分)
设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y y1 y2 y3 P(X?xi)?pi? x 11 8 x2 18 P(Y?yi)?p?j 16 1 十三、(本题满分6分)
?设X的概率密度为f(x)??6x??3(??x) 0< x??,X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单随机样本
??0 其它(1)求?的矩估计量??.
(2)求??的方差D(??). 2000年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)
?102x?x2dx=_____________.
(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.
?1??x1??1?(4)已知方程组?12?23a?2?????a?2???x2???3?无解,则a= _____________.
??1???x3????0??(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为
19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则P(A)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有 (A)f(x)g(b)?f(b)g(x)
(B)f(x)g(a)?f(a)g(x)
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(C)f(x)g(x)?f(b)g(b)
(D)f(x)g(x)?f(a)g(a)
(2)设S:x2?y2?z2?a2(z?0),S1为S在第一卦限中的部分,则有 (A)
??xdS?4??xdS
(B)
SS??ydS?4??xdS
1SS1(C)
??zdS?4??xdS
(D)
SS??xyzdS?41S??xyzdS
S1?(3)设级数
?un收敛,则必收敛的级数为
n?1??n?(A)(?1)un
(B)
2n
n?1n?un?1(C)
???(u2n?1?u2n)
(D)
?(un?un?1)
n?1n?1(4)设n维列向量组α1,?,αm(m?n)线性无关,则n维列向量组β1,?,βm线性无关的充分必要条件为 (A)向量组α1,?,αm可由向量组β1,?,βm线性表示 (B)向量组β1,?,βm可由向量组α1,?,αm线性表示
(C)向量组α1,?,αm与向量组β1,?,βm等价 (D)矩阵A?(α1,?,αm)与矩阵B?(β1,?,βm)等价
(5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量??X?Y与??X?Y不相关的充分必要条件为
(A)E(X)?E(Y)
(B)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2
(C)E(X2)?E(Y2)
(D)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2
三、(本题满分6分)
1x求lim(2?ex??4?sinxx). 1?ex
四、(本题满分5分)
设z?f(xy,xx?2zy)?g(y),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求
?x?y.
五、(本题满分6分)
计算曲线积分I???xdy?ydxL4x2?y2,其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(R?1),取逆时针方向.
六、(本题满分7分)
设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有
???xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,S其中函数f(x)在(0,??)内具有连续的一阶导数,且xlim?0?f(x)?1,求f(x).
七、(本题满分6分) ??1xn求幂级数3n?(?2)n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n?1n
八、(本题满分7分)
设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.
九、(本题满分6分)
设函数f(x)在[0,?]上连续,且
???0f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同
的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.
十、(本题满分6分)
首先祝愿天下考研人终成正果
?10?01*设矩阵A的伴随矩阵A???10??0?300?00??,且ABA?1?BA?1?3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵10??08?B.
十一、(本题满分8分)
某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将
1熟练工支援其他生产部门,其缺6额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
2成为熟练工.设第n年1月份统5计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn??. y?n??xn?1??xn??xn?1??xn?(1)求??与??的关系式并写成矩阵形式:???A??.
yyy?n?1??n??n?1??yn?(2)验证η1???,η2???4??1???1??是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. ?1??1??xn?1??x1??2?(3)当?????时,求??.
?yn?1??y1??1????2?
十二、(本题满分8分)
某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X).
十三、(本题满分6分)
?2e?2(x??)x??设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x;?)??,其中??0为未知参数.又设
x???0x1,x2,?,xn是X的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.