首先祝愿天下考研人终成正果
(A)a?0.2,b?0.3 (B)a?0.4,b?0.1 (C)a?0.3,b?0.2
(D)a?0.1,b?0.4
(14)设X21,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S为样本方差,则 (A)nX~N(0,1)
(B)nS2~?2(n)
(C)
(n?1)X~t(n?1) (n?1)X21S (D)
~F(1,n?1)
?nX2ii?2
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设D?{(x,y)x2?y2?2,x?0,y?0},[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最大整数. 计算二
重积分
??xy[1?x2?y2]dxdy. D(16)(本题满分12分) ?求幂级数
?(?1)n?1(1?1n?1n(2n?1))x2n的收敛区间与和函数f(x).
(17)(本题满分11分)
如图,曲线C的方程为y?f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分
?3(x20?x)f???(x)dx.
(18)(本题满分12分)
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)?0,f(1)?1. 证明: (1)存在??(0,1),使得f(?)?1??.
(2)存在两个不同的点?,??(0,1),使得f?(?)f?(?)?1. (19)(本题满分12分)
设函数?(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分???(y)dx?2xydyL2x2?y4的值恒为同一常数.
(1)证明:对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有???(y)dx?2xydyC2x2?y4?0.
(2)求函数?(y)的表达式.
(20)(本题满分9分)
已知二次型f(xx2221,2,x3)?(1?a)x1?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2的秩为2.
(1)求a的值；
(2)求正交变换x?Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形. (3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解. (21)(本题满分9分)
?已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B??123??246??(k为常数),且AB?O,求线
??36k??性方程组Ax?0的通解.
(22)(本题满分9分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)?10?x?1,0?y?2x0其它
求:(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y).
(2)Z?2X?Y的概率密度fZ(z). (23)(本题满分9分)
设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,记
Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.
求:(1)Yi的方差DYi,i?1,2,?,n. (2)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).
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2006年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)limxln(1?x)x?01?cosx?.
(2)微分方程y??y(1?x)x的通解是.
(3)设?是锥面z?x2?y2(0?z?1)的下侧,则??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?.
?(4)点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离z=. (5)设矩阵A???21???12??,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA?B?2E,则B=.
(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则P?max{X,Y}?1?=.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在x0处的增量,?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若?x?0,则
(A)0?dx??y (B)0??y?dy (C)?y?dy?0
(D)dy??y?0
?(8)设f(x,y)为连续函数,则
?410d??0f(rcos?,rsin?)rdr等于
2(A)
?20dx?1?x22x2xf(x,y)dy (B)
?20dx?1?0f(x,y)dy
22(C)
?2dy?1?y2(x,y)dx
(C)
?21?y20yf0dy?0f(x,y)dx
?(9)若级数
?an收敛,则级数
n?1???(A)
ann收敛 (B)
an收敛
n?1?(?1)n?1??(C)?anan?1收敛
(D)n?1?an?an?1收敛n?12
(10)设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?1y(x,y)?0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件
(x,y)?0下的一个极值点,下列选项正确的是
(A)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (B)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (C)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0
(D)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0
(11)设α1,α2,?,αs,均为n维列向量,A是m?n矩阵,下列选项正确的是 (A)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (B)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关 (C)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (D)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关.
(12)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记
?P??110??010??,则
??001??(A)C?P?1AP
(B)C?PAP?1
(C)C?PTAP
(D)C?PAPT
(13)设A,B为随机事件,且P(B)?0,P(A|B)?1,则必有 (A)P(A?B)?P(A) (B)P(A?B)?P(B)
(C)P(A?B)?P(A)
(D)P(A?B)?P(B)
?
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(14)设随机变量X服从正态分布N(?221,?1),Y服从正态分布N(?2,?2), 且P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},则
(A)?1??2 (B)?1??2
(C)?1??2
(D)?1??2
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=
??x,y?x2?y2?1,x?0?,计算二重积分I???1?xyD1?x2?y2dxdy. (16)(本题满分12分)
设数列?xn?满足0?x1??,x??1?sinxn?n?1,2,...?. 求:(1)证明limx??xn存在,并求之.
1计算lim?x???xn?1?xn2(2)?x?. n?(17)(本题满分12分) 将函数f?x??x2?x?x2展开成
x的幂级数. (18)(本题满分12分)
2设函数f?u?在?0,???内具有二阶导数,且z?f?x2?y2??z?2满足等式z?x2??y2?0.
(1)验证f???u??f??u?u?0.
(2)若f?1??0,f??1??1,求函数f(u)的表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面D???x,y?y?0?内,数f?x,y?是有连续偏导数,且对任意的t?0都有
f?tx,ty??t2f?x,y?.
证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有??yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0.
L(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组
??x1?x2?x3?x4??1?4x1?3x2?5x3?x4??1 ??ax1?x2?3x3?bx4?1有3个线性无关的解,
(1)证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2. (2)求a,b的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分)
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量αTT1???1,2,?1?,α2??0,?1,1?是线性方程组
Ax?0的两个解.
(1)求A的特征值与特征向量.
(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ?A. (22)(本题满分9分)
??12,?1?x?0?随机变量x的概率密度为f?x????1,0?x?2令y?x2x,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函
?4?0,其它??数.
(1)求Y的概率密度fY?y?. (2)F???1?2,4???. (23)(本题满分9分)
?0?x?1设总体X的概率密度为F(X,0)?1??1?x?2,其中?是未知参数(0???1),X1,X2...,Xn为来自
0其它总体X的简单随机样本,记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数,求?的最大似然估计.
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2007年全国硕士研究生入学统一考试
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)
(1)当x?0?时,与x等价的无穷小量是 (A)1?ex
(B)ln1?x1?x
(C)1?x?1
(D)1?cosx
(2)曲线y?1x?ln(1?ex),渐近线的条数为
(A)0 (B)1 (C)2
(D)3
(3)如图,连续函数y?f(x)在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)??x
0f(t)dt.则下列结论正确的是
(A)F(3)??3
(B)F(3)?54F(?2) 4F(2) (C)F(3)?34F(2)
(D)F(3)??54F(?2) (4)设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是
(A)若limf(x)x?0x存在,则f(0)?0
(B)若limf(x)?f(?x)x?0x存在,则f(0)?0
(C)若limf(x)(x)?f(?x)x?0x存在,则f?(0)?0
(D)若limfx?0x存在,则f?(0)?0
(5)设函数f(x)在(0, +?)上具有二阶导数,且f\x)?0, 令un?f(n)?1,2,?,n,则下列结论正确的是
(A)若u1?u2,则{un}必收敛
(B)若u1?u2,则{un}必发散
(C)若u1?u2,则{un}必收敛
(D)若u1?u2,则{un}必发散
(6)设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,?为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是
(A)
??(x,y)dx
(B)
??f(x,y)dy
(C)
??f(x,y)ds
(D)
??f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy
(7)设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α1
(B)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (C)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1
(D)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1
?2?1?1??100(8)设矩阵A????12?1??,B????010??,则A与B
???1?12????000??(A)合同,且相似
(B)合同,但不相似
(C)不合同,但相似
(D)既不合同,也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p?0?p?1?,则此人第4次射击恰好第2
次命中目标的概率为
(A)3p(1?p)2
(B)6p(1?p)2
(C)3p2(1?p)2
(D)6p2(1?p)2
(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在Y?y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为
(A)fX(x)
(B)fY(y)
(C)fX(x)fY(y)
(D)
fX(x)fy) Y(二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)
?211x1x3edx=_______.