首先祝愿天下考研人终成正果
点M(?,?,?),问当?、?、?取何值时,力F?所做的功W最大?并求出W的最大值.
八、（本题满分7分）
设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论.
(2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）
设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,对应的特征向量依次为
?ξ?1??1???,ξ??1??2???,ξ?1???1?,又向量β???2?1?23??3??.
??1????4????9????3??(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Anβ(n为自然数).
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知P(A)?P(B)?P(C)?14,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?16,则事件A、B、C全不发生的概率为____________.
(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{X?e?2X}=____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(?,?2),Y服从[??,?]上的均匀分布,试求Z?X?Y的
t2概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数?表示,其中?(x)?122??x??e?dt).
1993年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数F(x)??x11(2?t)dt(x?0)的单调减少区间为_____________.
(2)由曲线
3x2?2y2?12z?0绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为_____________.
(3)设函数f(x)??x?x2(???x??)的傅里叶级数展开式为
a?02??(ancosnx?bnsinnx),则其中n?1系数b3的值为_____________.
(4)设数量场u?lnx2?y2?z2,则div(gradu)=_____________.
(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n?1,则线性方程组AX?0的通解为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)??sinx240sin(t)dt,g(x)?x3?x,则当x?0时,f(x)是g(x)的
(A)等价无穷小
(B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小
(D)低价无穷小
(2)双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表示为
??(A)2?40cos2?d?
(B)4?40cos2?d?
??(C)2?4cos2?d?
(D)102?40(cos2?)2d?
(3)设有直线lx?1x?1:1?y?5?2?z?81与ly?62:2y?z?3则l1与l2的夹角为
(A)
?6
(B)
?4 首先祝愿天下考研人终成正果
(C)?3
(D)?2
(4)设曲线积分
?L[f(t)?ex]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且
f(0)?0,则f(x)等于
e?x?exx?x(A)2
(B)e?e2
ex?e?xx(C)
(D)1?e?e?x2?1
2
?123?(5)已知Q???24t??,P为三阶非零矩阵,且满足PQ?0,则
??369??(A)t?6时P的秩必为1
(B)t?6时P的秩必为2 (C)t?6时P的秩必为1
(D)t?6时P的秩必为2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求lim(sin2x??x?cos1x)x.
(2)求
?xexex?1dx.
(3)求微分方程x2y??xy?y2,满足初始条件yx?1?1的特解.
四、(本题满分6分) 计算
???2xzdydz?yzdzdx?z2dxdy,其中?是由曲面z?x2?y2与z?2?x2?y2所围立体的表
?面外侧.
五、(本题满分7分)
?求级数?(?1)n(n2?n?1)n的和. n?02
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)
(1)设在[0,??)上函数f(x)有连续导数,且f?(x)?k?0,f(0)?0,证明f(x)在(0,??)内有且仅有
一个零点.
(2)设b?a?e,证明ab?ba. 七、（本题满分8分）
已知二次型f(xx2221,x2,x3)?21?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化成标准形
f?y2221?2y2?5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵.
八、（本题满分6分）
设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,I是n阶单位矩阵,若AB?I,证明B的列向量组线性无关. 九、（本题满分6分）
设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(?1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.
(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X的概率分布密度为f(x)?1?2ex,???x???. (1)求X的数学期望EX和方差DX.
(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?
首先祝愿天下考研人终成正果
1994年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)limcot?1x?0(sinx?1x)= _____________.
(2)曲面z?ex?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
?x?2(3)设u?esinxy,则u?x?y在点(2,1?)处的值为_____________.
22(4)设区域D为x2?y2?R2,则
??(xa2?yb2)dxdy=_____________. D(5)已知α?[1,2,3],β?[1,1,123],设A?α?β,其中α?是α的转置,则An=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
?(1)设M??2sinx????2cos4xdx,N??234?(sinx?cosx)dx,P??2?(x2sin3x?cos4x)dx,则有 21?x?2?2(A)N?P?M (B)M?P?N (C)N?M?P
(D)P?M?N
(2)二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件
(C)充分必要条件
(D)既非充分条件又非必要条件
?(3)设常数??0,且级数?a2?收敛,则级数?(?1)nannn?1?1n2?? n(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛
(D)收敛性与?有关
(4)limatanx?b(1?cosx)x?0cln(1?2x)?d(1?e?x2)?2,其中a2?c2?0,则必有
(A)b?4d
(B)b??4d
(C)a?4c
(D)a??4c
(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
(B)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (C)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (D)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
x?cos(t2)(1)设dy2
?y?tcos(t2)??t21,求、dy2在t?12ucosududxdx2的值.
(2)将函数f(x)?14ln1?x1?x?12arctanx?x展开成x的幂级数. (3)求
?dxsin(2x)?2sinx.
四、(本题满分6分)
计算曲面积分??xdydz?z2dxdy22,其中S是由曲面x2?y2?R2及z?R,z??R(R?0)两平面所围Sx?y?z2成立体表面的外侧.
五、(本题满分9分)
设f(x)具有二阶连续函数,f(0)?0,f?(0)?1,且[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?x2y]dy?0为一全
微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
六、(本题满分8分) 设f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limf(x)?
x?0x?0,证明级数?f(1)绝对收敛. n?1n 七、（本题满分6分）
已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由
S及两平面z?0,z?1所围成的立体体积.
首先祝愿天下考研人终成正果
八、（本题满分8分） 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为
x1?x2?0x2?x4?0,
又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,1). (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）
设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A?是A的转置矩阵,当A*?A?时,证明A?0.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB),且P(A)?p,则P(B)=____________. (2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分布率为
X 0 1 P 112 2 则随机变量Z?max{X,Y}的分布率为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X与Y的相关系数?1xy??2,设
Z?X3?Y2, (1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.
(2)求X与Z的相关系数?xz. (3)问X与Y是否相互独立?为什么?
1995年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
2(1)lim(1sinxx?0?3x)=_____________.
(2)
d0dx?x2xcost2dt= _____________.
(3)设(a?b)?c?2,则[(a?b)?(b?c)]?(c?a)=_____________. (4)幂级数
??nx2n?1的收敛半径R=_____________. n?12n?(?3)n??100??3?(5)设三阶方阵A,B满足关系式A?1BA?6A?BA,且A??1??0?40??,则B=_____________. ???001?7???
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设有直线L:x?3y?2z?1?02x?y?10z?3?0,及平面?:4x?2y?z?2?0,则直线L (A)平行于? (B)在?上 (C)垂直于?
(D)与?斜交
(2)设在[0,1]上f??(x)?0,则f?(0),f?(1),f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大小顺序是 (A)f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (B)f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) (C)f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0)
(D)f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0)
(3)设f(x)可导,F(x)?f(x)(1?sinx),则f(0)?0是F(x)在x?0处可导的 (A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件
(C)必要条件但非充分条件
(D)既非充分条件又非必要条件
首先祝愿天下考研人终成正果
(4)设u(?1)nln(1?1n?n),则级数
??(A)
?u2??n与
都收敛
(B)
2n与
n?1?un?1n?un?1?un?1n都发散
????(C)?un收敛,而?u2n发散
(D)而n?1n?1?u2n收敛,1?un?1n发散
n??a12a13??a12a13??(5)设A??a11?a21a22a??a1123aa22a???a31a?,P1??010????100?100,P??010?23,32a?,B??2133????a31a32001?2???则必有 a33???????101??(A)AP1P2=B (B)AP2P1=B (C)P1P2A=B
(D)P2P1A=B
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设u?f(x,y,z),?(x2,ey,z)?0,y?sinx,其中f,?都具有一阶连续偏导数,且???z?0.求dudx. (2)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设?1f(x)dx?A,求?1dx?100xf(x)f(y)dy.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分
??zdS,其中?为锥面z?x2?y2?在柱体x2?y2?2x内的部分.
(2)将函数f(x)?x?1(0?x?2)展开成周期为4的余弦函数.
五、(本题满分7分)
设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.已知
MA?OA,且L过点(332,2),求L的方程.
六、(本题满分8分) 设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分
?L2xydx?Q(x,y)dy与路径无关,并且对
任意t恒有
?(t,1))(0,0)2xydx?Q(x,y)dy??(1,t(0,0)2xydx?Q(x,y)dy,求Q(x,y).
七、（本题满分8分）
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g??(x)?0,f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0,试证:
(1)在开区间(a,b)内g(x)?0.
(2)在开区间(a,b)内至少存在一点?,使f(?)g(?)?f??(?)g??(?).
八、（本题满分7分）
?设三阶实对称矩阵A的特征值为???1,??0??12??3?1,对应于?1的特征向量为ξ1??1?,求A.
??1??
九、（本题满分6分）
设A为n阶矩阵,满足AA??I(I是n阶单位矩阵,A?是A的转置矩阵),A?0,求A?I.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,
则X2的数学期望E(X2)=____________.
(2)设X和Y为两个随机变量,且
P{X?0,Y?0}?347,P{X?0}?P{Y?0}?7,
则P{max(X,Y)?0}?____________.
十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率密度为
fe?xx?0X(x)?0x?0, 求随机变量Y?eX的概率密度fY(y).