（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．
22．如图，曲线C由上半椭圆C1：
+
=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x+1
2
（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为（Ⅰ）求a，b的值；
．
（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．
23．圆x+y=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）． （Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+为2，求C的标准方程．
交于A、B两点，若△PAB的面积
2
2
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24．如图，O为坐标原点，双曲线C1：
﹣
=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：
+
=1（a2
＞b2＞0）均过点P（2的正方形．
，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|证明你的结论．
+
|=|
|？
25．如图，设椭圆C：在第一象限．
（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．
（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P
26．设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已
知|AB|=
|F1F2|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率． 27．如图，设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，
=2
，△DF1F2的面积为
．
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（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
28．如图，设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，
=2
，△DF1F2的面积为
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．
29．已知抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为
2
Q，且|QF|=|PQ|． （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程． 30．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，直线y=x被
椭圆C截得的线段长为（Ⅰ）求椭圆C的方程；
．
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
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（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值．
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名思教育圆锥曲线专题训练
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2015?黄浦区一模）在平面直角坐标系中，已知动点M（x，y），点A（0，1），B（0，﹣1），D（1，0），点N与点M关于直线y=x对称，且意一条直线．
（1）求动点M所在曲线C的轨迹方程； （2）设直线l与曲线C交于G、H两点，且|GH|=
，求直线l的方程；
．直线l是过点D的任
（3）（理科）若直线l与曲线C交于G、H两点，与线段AB交于点P（点P不同于点O、A、B），直线GB与直线HA交于点Q，求证：
是定值．
（文科） 设直线l与曲线C交于G、H两点，求以|GH|的长为直径且经过坐标原点O的圆的方程． 考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的综合问题． 圆锥曲线中的最值与范围问题． （1）由点N与点M关于直线y=x对称，可得N（y，x）．利用数量积运算可得出； （2）假设l⊥x轴，则直线与l的交点为（1，±），直接验证即可；可设直线l的斜率为k，，即则直线l的方程为：y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2）．与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出． （3）（理科）由直线l的方程：y=k（x﹣1），令x=0，可得P（0，﹣k）．直线AH的方程为，直线GB的方程为：．联立解得Q，．利用根与系数的关系可得：=1为定值． =0解出k．圆（3）（文科）若以|GH|的长为直径的圆经过坐标原点O，利用数量积运算心的横坐标=r=解答： 2=，纵坐标=±，可得圆心=．即可得出． ．半径解：（1）∵点N与点M关于直线y=x对称，∴N（y，x）． 第10页（共58页）