（2）设抛物线x=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：
（3）设过抛物线x=4y焦点F的直线l与椭圆
2
2
+=1的交点为C、D，是否存在直线l
使得|AF|?|CF|=|BF|?|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的综合问题． 圆锥曲线中的最值与范围问题． （1）如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．利用抛物线的定义及梯形的中位线定理可得可得r=可证明； （2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为x﹣4kx﹣4=0，可得根与系数的关系，由x=4y，可得22===|O1O2|，即．可得kMA?kMB==﹣1，可得△MAB为直角三角形，可得△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3﹣（﹣1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圆的方程． （3）假设存在直线l使得|AF|?|CF|=|BF|?|DF|，设=λ，可得，，设C（x3，y3），D（x4，y4）．利用向量的坐标运算可得x1=﹣λx2，x4=﹣λx3．把x1=﹣λx2代入根与系数的关系可得．把y=kx+1代入椭圆方程可得（3k+6）x+6kx﹣221=0，把根与系数的关系与x4=﹣λx3联立可得解答： ，联立解得即可． （1）证明：如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴． 则r====|O1O2|， ∴r=|O1O2|， 第26页（共58页）
∴以AF为直径的圆与x轴相切； （2）解：设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立，化为x﹣4kx﹣4=0， 2∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4． 由x=4y，可得∴kMA?kMB=∴MA⊥MB． ∴△MAB为直角三角形，∴△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点． 设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M． ∴xP=xM=2， ∴=2，2k=2，解得k=1． 2． =﹣1， yp====3， ∴圆心P（2，3），又r=|MP|=|3﹣（﹣1）|=4， ∴所求的△MAB的外接圆的方程为：（x﹣2）+（y﹣3）=16． （3）解：假设存在直线l使得|AF|?|CF|=|BF|?|DF|， 设=λ，则，， 22设C（x3，y3），D（x4，y4）． 则（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），（﹣x4，1﹣y4）=λ（x3，y3﹣1）， ∴x1=﹣λx2，x4=﹣λx3． 把x1=﹣λx2代入x1+x2=4k，x1x2=﹣4，可得 ①． 把y=kx+1代入椭圆+=1的方程可得（3k+6）x+6kx﹣1=0， ． 22∴x3+x4=﹣，x3x4=﹣与x4=﹣λx3联立可得，②． ①②联立可得，化为k=1，解得k=±1． 2因此满足条件的直线存在：y=±x+1． 第27页（共58页）
点评： 本题考查了抛物线与椭圆的标准方程及其性质、直线与抛物线椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量坐标运算、圆的标准方程、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
13．（2015?宿州一模）如图，椭圆E：
的左、右两焦点分别为F1，F2，
离心率
．设P（x0，y0）为椭圆上第一象限内的点，△PF1F2的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l：3x0x+4y0y﹣12=0分别与直线x=±2交于C、D两点．
（1）判断直线l与椭圆E交点的个数；
（2）试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以CD为直径的圆恒过该定点？若存在，求出此定点的坐标；若不存在，说明理由．
考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的综合问题． 圆锥曲线中的最值与范围问题． （Ⅰ） 由题知：可． （ II）（1）证法一：把直线方程与椭圆方程联立可得，，由△PF1F2的周长为6，可得2a+2c=6，又b=a﹣c，联立解得即222利用，化为，解得x=x0，即可得出． 第28页（共58页）
证法二：由于点P在第一象限内，由．过点P与椭圆C相切的直线斜率．即可判断出； （2）令x=2得 ，令x=﹣2得．利用中点坐标公式可得CD的中点为，即可得出CD为直径的圆方程为． 利用，上式化简得．即可得出． 解答： （Ⅰ） 解：由题知：又∵△PF1F2的周长为6， ∴2a+2c=6， 解得a=2，c=1． ∴椭圆E的方程为（ II）（1）证法一： ． ， 由， 消去y并整理得， 又∵得，即，解得x=x0， ， 因此直线l与椭圆E只有一个交点． 证法二：∵点P在第一象限内， 第29页（共58页）
由． 过点P与椭圆C相切的直线斜率因此直线l与椭圆E相切， 故直线l与椭圆E只有一个交点． （2）解：令x=2得，即 ． ， 令x=﹣2得，即． ∴CD的中点为，． 故以CD为直径的圆方程为． 又∵，上式化简得． 令， 解得或． 故CD为直径的圆恒过点（1，0）和（﹣1，0）． 点评： 本题综合考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切转化为方程联立利用△=0、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了圆过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 14．（2014?北京）已知椭圆C：x+2y=4． （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值． 考点： 专题： 分析： （Ⅰ）椭圆C：x+2y=4化为标准方程为222
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椭圆的简单性质；两点间的距离公式． 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． ，求出a，c，即可求椭圆C的离心率； 第30页（共58页）