∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴22． 化为7m+16mk+4k=0，解得m1=﹣2k，22． ，且满足3+4k﹣m＞0． 当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾； 当m=﹣时，l：y=k，直线过定点． ． 综上可知，直线l过定点，定点坐标为点评： 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
9．（2015?乌鲁木齐模拟）已知椭圆点P在椭圆上．
（Ⅰ）若∠F1PF2=90°，且△PF1F2的面积等于1，求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线PF1交椭圆于另一点Q，分别过点P，Q作直线PQ的垂线，交x轴于点M，N，当|MN|取最小值时，求直线PQ的斜率． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． +=1（a＞b＞0）的离心率为
，F1，F2是其焦点，
专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （I）设|PF1|=m，|PF2|=n，由已知可得：，解得即可； （II）椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，可得=，可得椭圆的方程可化为x+2y=2c． 222由题意可知PQ的斜率存在，设PQ的方程为：y=k（x+c），P（x1，y1），Q（x2，y2）．（k≠0）．与椭圆方程联立可得化为（1+2k）x+4kcx+2kc﹣2c=0， 直线PM的方程为：，令y=0，可得xM=x1+ky1．同理可得xN=x2+ky2，把2222222根与系数的关系代入|MN|=|x2﹣x1+k（y2﹣y1）|=|1+k||x2﹣x1|=|1+k|导数研究其单调性即可得出． 第21页（共58页）
2=．令t=1+k＞1，f（t）=2，利用
解答： 解：（I）设|PF1|=m，|PF2|=n，由已知可得：，解得b=1，c=1，a=2． 22∴椭圆的标准方程为：=1． （II）椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为222，可得=，=， ∴椭圆的方程可化为x+2y=2c． 由题意可知PQ的斜率存在，设PQ的方程为：y=k（x+c），P（x1，y1），Q（x2，y2）．（k≠0）． 联立，化为（1+2k）x+4kcx+2kc﹣2c=0， 222222∴x1+x2=，， 直线PM的方程为：同理可得xN=x2+ky2， ，令y=0，可得xM=x1+ky1． ∴|MN|=|x2﹣x1+k（y2﹣y1）|=|1+k||x2﹣x1|=|1+k|22=c． 令t=1+k＞1，f（t）=2，则f′（t）==． 令f′（t）＞0，解得单调递减． ，此时函数f（t）单调递增；令f′（t）＜0，解得1，此时函数f（t）∴当t=时，函数（ft）取得最小值，当k=0时，可得|MN|=2a=2而2c． c． =，即时，|MN|取得最小值=． ∴当|MN|取最小值时，直线PQ的斜率k=． 点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、相第22页（共58页）
互垂直的直线斜率之间的关系、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．（2015?株洲一模）如图，焦点在x轴的椭圆C：
+
=1（b＞0），点G（2，0），点P
在椭圆上，且PG⊥x轴，连接OP交直线x=4于点M，连接MG交椭圆于A、B． （Ⅰ）若G为椭圆右焦点，求|OM|；
（Ⅱ）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围．
考点： 专题： 分析： （I）不妨设P在x轴上方，椭圆C的方程为：+=1（b＞0），可得点P的坐标为，直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质． 圆锥曲线中的最值与范围问题． 根据题意可得P为线段OM的中点，可得M的坐标为b=8﹣4，即可得出|OM|=2．G为椭圆右焦点，可得． ，可得直线AB的方程为，（Ⅱ）由于直线AB过点M、G，可得kAB=2解答： 代入椭圆方程并整理得：5x﹣16x+8=0．利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出． 解：（I）不妨设P在x轴上方， 由椭圆C的方程为：+=1（b＞0），令x=2，则， ∴点P的坐标为， ． 根据题意可得P为线段OM的中点，∴M的坐标为若G为椭圆右焦点，则b=8﹣4=4， ∴|OM|==2． 2（Ⅱ）∵直线AB过点M、G， ∴kAB=， 第23页（共58页）
则直线AB的方程为2， 代入椭圆方程并整理得：5x﹣16x+8=0． 设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=，x1x2=． ∴k1+k2=+=﹣． ∵，． ∴k1+k2=2﹣=b． ∵0＜b＜8，b＞0， ∴点评：
11．（2015?安徽一模）已知椭圆C：
2
， ∴k1+k2的取值范围是（0，2）． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． +=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x﹣y=2的离心
22
率互为倒数，且以抛物线y=4x的焦点F为右焦点． （I）求椭圆C的标准方程； （II）过右焦点F作斜率为﹣
的直线l交曲线C于M、N两点，且
+
+
=0，又点H关
于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由． 考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的综合问题． 圆锥曲线中的最值与范围问题． （I）双曲线x﹣y=2的离心率为22，可得椭圆C的离心率e=222=．由抛物线y=4x的焦点2F（1，0）为椭圆的右焦点，可得c=1．再利用b=a﹣c即可得出． （II）设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x0，y0），G（﹣x0，﹣y0）．直线l的方程为：与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用中点坐标公式可得线段MN的垂直平分线为：，利用而得到线段GH的垂直平分线为：解答： 解：（I）∵双曲线x﹣y=2的离心率为22，++=0，可得H．联立解得即可． ， ，G．进第24页（共58页）
∴椭圆C的离心率e=2=． ∵抛物线y=4x的焦点F（1，0）为椭圆的右焦点，∴c=1． 解得a=，∴b=a﹣c=1． =1． 222∴椭圆C的标准方程为（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x0，y0），G（﹣x0，﹣y0）． 直线l的方程为：， 联立，化为2x﹣2x﹣1=0， 2可得x1+x2=1，x1x2=﹣． ∴y1+y2=可得线段MN的垂直平分线为：化为∵++=0， =0． =． ， ∴x1+x2+x0=0，y1+y2+y0=0， 解得x0=﹣1，y0=﹣∴G． ． ，即H． 线段GH的垂直平分线为：联立，解得， ∴r==． ，半径r=． 因此M、G、N、H四点是共圆，圆心坐标点评：
本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段的垂直平分线性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 12．（2015?郴州二模）如图所示，已知过抛物线x=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．
（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；
2
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