∵∴，∴（y，x﹣1）?（y，x+1）=，化为． ． ， ∴动点M所在曲线C的轨迹方程为（2）假设l⊥x轴，则直线与l的交点为（1，±），此时|GH|=，不满足要求，舍去； 可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2）． 联立，化为（1+2k）x﹣4kx+2k﹣2=0， 2222∴x1+x2=，x1x2=． ∴|GH|===， 解得k=． ． ∴直线l的方程为（3）（理科）证明：由直线l的方程：y=k（x﹣1），令x=0，解得y=﹣k，∴P（0，﹣k）． 直线AH的方程为：， 直线GB的方程为：． 联立，解得Q，． 利用根与系数的关系可得：==1为定值． （文科）解：若以|GH|的长为直径的圆经过坐标原点O， 第11页（共58页）
则=0，∴x1x2+y1y2=x1x2+k（x1﹣1）（x2﹣1）=（1+k）x1x2﹣k（x1+x2）+k=0， 22222由（2）可得化为k=1，解得k=±1． ∴直线l的方程为：y=±（x﹣1）． ∴圆心的横坐标=半径r=∴圆的方程为：点评： 22﹣+k=0， =，纵坐标=±，可得圆心=． ． ． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切相交问题转化为方程联立可得及根与系数的关系、弦长公式、向量垂直与数量积的关系、直线的交点、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 2．（2015?湛江一模）如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|=（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：x=ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（﹣，y1），点N（，y2）是切线l
上两个点，证明：当t、λ变化时，以 M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．
．
，F是右
考点： 专题： 分析： 椭圆的简单性质． 圆锥曲线的定义、性质与方程． （1）根据已知条件列出关于a，b，c的方程组求解即可； （2）根据条件将直线方程x=ty+λ代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到交点M，N纵坐标满足的关系，然后根据题意写出以MN为直径的圆的方程，则求出圆与x轴交点的坐标，只要是常数即可． 解答： 解：（1）由题意设椭圆方程为①焦点F（c，0）， 第12页（共58页）
因为②，将点B（c，222）代入方程①得． ． ③ 由②③结合a=b+c得故所求椭圆方程为（2）由得（2+t）y+2tλy+λ﹣2=0． 222因为l为切线，所以△=（2tλ）﹣4（t+2）（λ﹣2）=0，即t﹣λ+2=0① 设圆与x轴的交点为T（x00），则因为MN为圆的直径，所以② ， 22222因为，所以，代入②及①得 =要使上式为零，当且仅当，解得x=±1， ， 所以T为定点，故动圆过x轴上的定点是（﹣1，0）与（1，0），即两个焦点． 点评： 3．（2015?武汉校级模拟）已知椭圆C1：x+4y=1的左、右焦点分别为F1、F2，点 P是C1上任意一点，O是坐标原点，
=
+
，设点Q的轨迹为C2．
2
2
本题综合考查了椭圆的标准方程的求法以及直线与圆、椭圆的位置关系等问题的处理方法，属于综合题，有一定难度． （1）求点Q的轨迹C2的方程； （2）若点 T满足：
=
+2
+
，其中 M，N是C2上的点，且直线 O M，O N的斜率之
积等于﹣，是否存在两定点 A，B，使|T A|+|T B|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由． 考点： 专题： 分（1）可分别设出点Q与P的坐标，然后根据已知条件找到两点坐标之间的关系，然后用所求的点Q的坐（2）根据已知条件与所求可以看出所求的结果应该与椭圆的定义有关，因此可以先将点M，N的坐标给第13页（共58页）
椭圆的简单性质． 圆锥曲线的定义、性质与方程． 析： 标表示出P点的坐标，然后代入已知的方程即可；
出来，然后再代入已知的条件化简得到点T坐标满足的关系式，然后进行判断即可． 解答： 解：（1）设点Q的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x0+4y0=1， 易知F1，F2的坐标分别为（），（），因为， 22所以（x，y）=（﹣2x0，﹣2y0），即，代入x0+4y0=1得22． 即椭圆C2的方程为得． （2）设T点的坐标为（x，y），M，N的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）． 由=+2+得（x，y）=（x1﹣x2，y1﹣y2）+2（x1，y1）+（x2，y2）．所以x=2x2+x1，y=2y2+y1． ． 设直线OM，ON的斜率分别为kOM，kON，由已知得kOM?kON=即x1x2+4y1y2=0，又所以2， =16y1y2 =20+4（x1x2+4y1y2）=20， 所以x+4y=20，即T是椭圆22上的点， 根据椭圆的定义可知，存在两定点A，B分别为椭圆两个焦点使|TA|+|TB|为定值，因为此时a=20，所以所以|TA|+|TB|=2a=点
4．（2015?嘉定区一模）已知点A（0，﹣2），椭圆E：评： 档题． ． 2的 ， 本题考查了代入法求轨迹方程的方法，第二问主要是考查对椭圆的定义及性质的理解和掌握情况，属于中（a＞b＞0）的长轴长为4，
F是椭圆的右焦点，直线AF的一个方向向量为（1）求椭圆E的方程；
，O为坐标原点．
（2）设过点A的动直线l与椭圆E相交于P、Q两点，当△OPQ的面积S最大时，求l的方程． 考点： 专圆锥曲线中的最值与范围问题． 第14页（共58页）
椭圆的简单性质．
题： 分（1）设F（c，0），得到直线AF的方程，令y=0，得c的值，由b=a﹣c=1，从而求出椭圆的方程； 222析： （2）由题意，设直线l的方程为y=kx﹣2，得到方程（4k2+1）x2﹣16kx+12=0，表示出|PQ|的长，从而表示△OPQ的面积，进而求出l的方程． 解答： 解：（1）设F（c，0），直线AF的方程为令y=0，得，即22，…（2分） ，…（3分） 2由已知，a=2，所以b=a﹣c=1． …（5分） 所以椭圆E的方程为． …（6分） （2）由题意，设直线l的方程为y=kx﹣2， 将y=kx﹣2代入2，得（4k+1）x﹣16kx+12=0，…（1分） 时，直线l与椭圆E相交，…（2分） ，，…（3分） 22当△=16（4k﹣3）＞0，即设P（x1，y1），Q（x2，y2），则所以=， 又点O到直线l的距离，所以△OPQ的面积． 设，则t＞0，，…（5分） 因为，所以S≤1，当且仅当t=2，即时，S取最大值1．…（7分） ． …（8分） 所以，当△OPQ的面积S最大时，直线l的方程为（直线方程用其他形式也可以） 点评： 5．（2015?南充二模）已知椭圆T：坐标是（2，0）． （Ⅰ）求椭圆T的方程；
+
本题考查了椭圆方程，考查了向量问题，考查了函数的最值问题，本题有一定的难度． =1（a＞b＞0）经过点P（2，），一个焦点F的
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆T交于A、B两点，O为坐标原点，椭圆T的离心率为e，若kOA?kOB=e﹣1．
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