（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值． 解答： 解：（Ⅰ）椭圆C：x+2y=4化为标准方程为∴a=2，b=，c=， ； 22， ∴椭圆C的离心率e==（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则 ∵OA⊥OB， ∴=0， ∴tx0+2y0=0，∴t=﹣， ∵， ∴|AB|=（x0﹣t）+（y0﹣2）=（x0+222）+（y0﹣2）22=x0+y0+22+4=x0+2++4=+4（0＜x0≤4）， 2因为≥4（0＜x0≤4），当且仅当． 2，即x0=4时等号成立，所以|AB|≥8． 22∴线段AB长度的最小值为2点评：
本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 15．（2014?河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是
椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为（Ⅰ）求E的方程；
，O为坐标原点．
（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 圆锥曲线的定义、性质与方程． （Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得解得a，b； （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出． 第31页（共58页）
，可得c．又，b=a﹣c，即可222
解答： 解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为∴又，解得c=222， ． ，b=a﹣c，解得a=2，b=1． ； ∴椭圆E的方程为（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）． 由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2． 联立22， 2化为（1+4k）x﹣16kx+12=0，当△=16（4k﹣3）＞0时，即，∴|PQ|=． 时， = =， 点O到直线l的距离d=． ∴S△OPQ==22， 设∴＞0，则4k=t+3， ==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号． 满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：点评： ． 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题． 第32页（共58页）
16．（2014?天津）设椭圆+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上
顶点为B，已知|AB|=
|F1F2|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2 考点： 专题： 分析： ，求椭圆的方程．
直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 圆锥曲线的定义、性质与方程． （Ⅰ）分别用a，b，c表示出|AB|和|F1F2|，根据已知建立等式求得a和c的关系，进而求得离心率e． （Ⅱ）根据（1）中a和c的关系，用c表示出椭圆的方程，设出P点的坐标，根据PB为直径，推断出BF1⊥PF1，进而知两直线斜率相乘得﹣1，进而求得sinθ和cosθ，表示出P点坐标，利用P，B求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出|OB|，|OF2|，利用勾股定理建立等式求得c，则椭圆的方程可得． 解答： 解：（Ⅰ）依题意可知∵b=a﹣c， ∴a+b=2a﹣c=3c， ∴a=2c， ∴e==． 222222222222=?2c， （Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c， ∴b=a﹣c=c， ∴椭圆方程为设P点坐标（∵PB为直径， ∴BF1⊥PF1， ∴kBF1?kPF1=?求得sinθ=﹣=﹣1， 或0（舍去）， +=1，B（0，c），F1（﹣c，0） 2222csinθ，ccosθ），以线段PB为直径的圆的圆心为O， 由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时， cosθ==， ∴P坐标为（﹣c，c）， ∴圆心O的坐标为（﹣c，c）， 第33页（共58页）
∴r=|OB|=∵r+|MF2|=|OF2|， ∴22222=c，|OF2|==c， +8=c， 2∴c=3， ∴a=6，b=3， ∴椭圆的方程为点评： 17．（2014?四川）已知椭圆C：一个端点构成正三角形． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； ②当 考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 2+=1． 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．第（1）相对简单，主要是求得a和c的关系；第（2）问较难，利用参数法设出P点坐标是关键． +=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的
最小时，求点T的坐标．
圆锥曲线中的最值与范围问题． 第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a=b+c及焦距2c=4建立方程组求得a，b； 第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标． 表示22222解答： 解：（1）依题意有解得 所以椭圆C的标准方程为+=1． （2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0）， ①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率． 第34页（共58页）
由?（m+3）y﹣4my﹣2=0， 22所以， 于是，从而， 即，则直线ON的斜率， 又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m． 从而，即kOT=kON， 所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证． ②由两点间距离公式得由弦长公式得==， ， 所以， 令号）， 所以当 3，﹣1）． 点评： ，则（当且仅当x=2时，取“=”2最小时，由x=2=m+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣22本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面： 1、设交点坐标，设直线方程； 2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理； 第35页（共58页）