3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题． 18．（2014?辽宁）圆x+y=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
﹣
=1过点P且离心率为
．
2
2
考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程． 圆锥曲线的定义、性质与方程． （Ⅰ）设切点P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆C2的焦点．可设椭圆C2的方程为标代入即可得出方程．由题意可设直线l的方程为x=my+， （b1＞0）．把P的坐A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）设切点P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则切线的斜率为， 可得切线的方程为，化为x0x+y0y=4． 令x=0，可得；令y=0，可得． ∴切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形的面积S==． ∵4=，当且仅当时取等号． 第36页（共58页）
∴．此时P． 由题意可得，，解得a=1，b=2． 22故双曲线C1的方程为． ，0），即为椭圆C2的焦点． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线C1的焦点（±可设椭圆C2的方程为（b1＞0）． 把P代入可得，解得=3， 因此椭圆C2的方程为． ，A（x1，y1），B（x2，y2）， ， 由题意可设直线l的方程为x=my+联立，化为∴，． ∴x1+x2==， x1x2=，=． ， ∵∴∴，∴， +，解得m=或m=或， ， ． 因此直线l的方程为：点评： 本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理第37页（共58页）
能力和计算能力，考查了转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题． 19．（2014?陕西）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）经过点（0，
），离心率为，左右焦点分
别为F1（﹣c，0），F2（c，0）． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足
=
，求直线l的方程．
考点： 专题： 分析： （Ⅰ）由题意可得，解出即可． 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 圆锥曲线的定义、性质与方程． （Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x+y=1．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d及d＜1，可得m的取值范围．利用弦长公式可得|CD|=2．设A（x1，22y1），B（x2，y2）．把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|=解答： 解：（Ⅰ）由题意可得， ．由=，即可解得m． 解得，c=1，a=2． ． 22∴椭圆的方程为（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x+y=1． ∴圆心到直线l的距离d=， 第38页（共58页）
由d＜1，可得．（*） ∴|CD|=2==． 设A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立22， 化为x﹣mx+m﹣3=0， 可得x1+x2=m，∴|AB|=． =． 由=，得， 解得满足（*）． ． 因此直线l的方程为点评：
20．（2014?四川）已知椭圆C：（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
+
本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．
（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积． 考点： 专题： 分析： （Ⅰ）由题意可得，解出即可； 直线与圆锥曲线的综合问题． 圆锥曲线的定义、性质与方程． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），可得直线TF的斜率kTF=﹣m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得，即可解得m．此时四边形OPTQ第39页（共58页）
的面积S=解答： 解：（Ⅰ）由题意可得． ， 解得c=2，a=，b=． ； ∴椭圆C的标准方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0）， 设T（﹣3，m），则直线TF的斜率∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2． 设P（x1，y1），Q（x2，y2）． 联立，化为（m+3）y﹣4my﹣2=0， 22， △＞0，∴y1+y2=，y1y2=． ∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=． ∵四边形OPTQ是平行四边形， ∴，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m﹣y2）， ∴，解得m=±1． 此时四边形OPTQ的面积S=点评： ═=． 本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交可得根与系数的关系及弦长问题、向量相等问题、平行四边形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合和转化能力，属于难题．
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