第四章 电磁波的传播

授课内容 教学方法与说明 第四章 电磁波的传播 上两章讨论了孤立存在的静电场和静磁场（不随时间变化的情况）。在电荷、电流分布随时间变化的情况（迅变）下，将产生变化着的电场、磁场。变化着的电场、磁场还互相激发，形成在空间中传播的电磁波（电磁场以波动形式存在）。由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广泛应用，电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为独立的学科，具有十分丰富的内容。 本章讨论电磁波传播的最基本理论。平面电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。 第一节 讨论无界空间（真空或充满介质）中平面单色波的传播。 第二节 讨论平面单色波在介质分界面上的反射和折射。 第三节 讨论平面单色波在导体中的传播。 第四、五节 讨论有界空间中的电磁波，以谐振腔和波导管为例说明电磁波边值问题的解法。 ?????B 第六节 讨论等离子体的电磁性质及电磁波在等离子体中的传播。 E?dl???dS??L???tS 第一节 平面电磁波 预习提纲 一、关于波动方程 1、静止电荷产生的电场、恒定电流产生的磁场，在空间中能否以波的形式传播？为什么？ 2、对自由空间，如何导出波动方程？ 3、对均匀各向同性介质，在无自由电荷、电流分布情况下，能否导出类似于真空中的波动方程那样的方程(?0?0???)？为什么？ 二、关于时谐电磁波 1、时谐电磁波的定义。 2、对时谐波，由麦氏方程组可以得出几个独立方程？形式如何？ 3、亥姆霍兹方程与波动方程形式上有何不同？ 4、亥姆霍兹方程的基本解是E(x,t)?E0ei(k?x??t) ，为什么称其为平面波？ 三、关于平面电磁波特点 1、平面电磁波有何特点？ 2、由??E???0，??B?0???????，B???i????E 证明，E、B都是横波，E、B、k 三?????者互相垂直，E?B沿k方向。 3、证明?E???B? 讲授内容 一、波动方程 电磁波的基本方程是麦氏方程组 ???B??E???t???D??????D， ??H??J?t??0（Jf） ?（?f）， ??B?0 对没有电荷电流分布（?程变成齐次的，即 ???B ??E???t，Jf?0）的自由空间（真空或充满介质）麦氏方????D， ??H??t, ??D??0， ??B??0 在真空中（当然无电荷电流分布）满足 ??D??0E?， B????0H 1、关于电场E的波动方程 ??22??????D?E??(??E)????B???0??H???0???0?022?t?t?t?t 又由矢量分析可得 ??(??E)??(??E)??2E?2??E上两式相等可得 ?E??0?02?0?t2????2???E 2、关于电场B的波动方程 ?????D???0??D同理??(??B)??0??(??H)??0???t?t? ?2??B =?0?0??E???0?02?t?t??? ??2???B又由矢量分析可得 ??(??B)??(??B)??2B?2??B上两式相等可得 ?2B??0?02?0?t 如果令 c?1?0?0 ??22??1?E1?B则有 ?2E?22?0， ?2B?22?0c?tc?t（条件：无电荷、电流分布，真空） ?这是真空中电磁场的变化规律，称波动方程。可以求出磁场强度H与电位移矢量D的波动方程。c是电磁波在真空中的传播速度，一切电磁波、包括各种频率范围的电磁波，如无线电波光波，x射线等都以速度c传播。麦克斯韦提出光的电磁说，说明光是一种电磁波。 问题：那么，对均匀、各向同性的介质，无电荷电流分布时是否可导出 ?2??E?E????02?t2??2??B，?B???2?0?t2 答：导不出。因?、?是电磁波频率?的函数???(?)，???(?)，当频率随时间变化时，D(t)??E(t)，B(t)??H(t)并不成立，?、?也是时间的函数。?、?随?而变化，这种现象称为介质的色散。比如 ?1D(t)?2???????0?1i?tD(?)ed??2?????0?(?)E(?)e?i?td???12???0??i?tE(?)ed???E(t) 因此在介质内不能导出E、B的一般波动方程，千万不要把?0?0???，即由真空情况就转在介质情形，这是不正确的。 当然，对频率一定的电磁波，在均匀、各向同性的介质中，D是成立的，下面我们讨论这种情况。 二、时谐电磁波 1.时谐电磁波 很多情况下，电磁波的波源往往以大致确定的频率做正弦振荡，因而辐射出的电磁波也以相同的频率做正弦振荡，例如无线电广播就是这样。以一定频率做正弦振荡（或余弦振荡）的电磁波称时谐电磁波，亦称单色波。如果某个电磁波不是单色波，可用傅立叶分析的方法分解为不同频率的正弦波（或余弦波）的叠????E，B????H加。因而，可以只讨论一定频率的余弦波 ????E(x,t)?E(x)cos?t?或 E(x,t)?????i?tE(x)e?，B(x,t)?????B(x)cos?t ?， B(x,t)?????i?t （为计算方便引入，理解为只取实部） B(x)e????H再加上介质电磁性质方程 D???E， B 代入齐次方程组，并消去共同因子e?i?t后有 ?????B ??E?? ? ??E?i??H ?t?????D ? ??H??i??E ??H??t????D?0 ? ??E?0 ???B?0 ? ??H????0 ??????（上面四个式子中的E，B都是E(x)，B(x)而不是E(x,t)，B(x,t)）先注意一点????0，??0时即为静电场静磁场。当??0时，上面的三、四两式可由一、二两式导出，因为 ??(??E)?0，??(??H)?0。 2.亥姆霍兹方程 （1）电场强度矢量E的亥姆霍兹方程 ???2????(??E)?i????H????E??22??E?kE?0 其中 k????????2??(??E)??(??E)??E????22?E?kE?0??? 称为亥姆霍兹方程。其解不一定满足??E??0 ，因此，只有附加上条件 ??E???0后，亥姆霍兹方程的解才代表电磁波。 解出E后，可由 ??E得 B???i???E????i??H?i?B ? 总之，在一定频率下（即对时谐电磁波或单色波），在均匀各向同性介质中，线性情况下，无电荷、电流分布时，麦氏方程组可化为 ?????2E?k2E?0????E?0????i?B????E?? 这些方程的每一个解代表一种可能的波模。一定频率下电磁波的基本方程，其解??为E(x。代表电磁波电场强度（磁感应强度）在空间中的分布情况。每)（B(x)）??一种可能的解称为一种波模。 （2）磁感应强度矢量B的亥姆霍兹方程 类似地，也可象下面这样化麦氏方程组 ??????22??(??B)????(??H)??(?i??)??E??(?i??)i??H?????H????B????22??(??B)??(??B)??B???B? 两式相等可得 ??22?B?kB?0，k???? ?上式即为磁感应强度矢量B的亥姆霍兹方程，在一定频率下（即对时谐电磁波或单色波），在均匀各向同性介质中，线性情况下，无电荷、电流分布时，麦氏方程组可化为 ???2??2B?kB?0?????B?0??????1ii?E???H???B???B?i??????k??? 三、平面单色波 由亥姆霍兹方程可解出E(x)，E(x)可能有各种不同形式的解，天线发出的球面波，沿波导传播的导波。最基本形式的解是存在于全空间的平面波解。这种电磁波其波阵面（等相位点组成的面）为与传播方向正交的平面。由于亥姆霍兹方程导出的前提是频率一定，因而这里所说的平面波实质是平面单色波。 最简单的情况是场强与y、z无关，只与x有关，E=E(x)，在这种情况下，??亥姆霍兹方程 ?E?k2E?02??????，化为d22dx??2E(x)?kE(x)?0 它的一个解是 E(x)?（1）但必须满足??E即 ??(E0eiKx)?即 E0?ex???????ikxE0e （场强的空间部分） ?0 ?????iKxiKxiKxE0??e?E0?(iKexe)?E0?exiKe?0 ?????0 E0?ex 或 E(x)?ex