第四章 电磁波的传播(6)

由于在导体一侧E1???0?，H1??0 因而在介质（或真空）一侧有 ?????? n?E?0， n?H? ， n?B???0这两个条件满足后，另两个条件 n?D么？） ?? 自然能满足。（这是为什（3）以导体为边界的电磁波问题的解 对一定频率的电磁波，E 满足 ?2E????2?kE?0?0 ?0? ??E? n?E? ??0?实际求解E时，往往先看??E?，n?E?0???0对边界电场的限制。若取界面?Ey?0 ?Ex?x??Ey?y?0为xoy平面（E沿z轴方向），因 n?E ??E即 ???Ex?x??Ey?y??Ez?z?0? ，因此 Ex ?Ez?z?0 ??0一般地，不论界面坐标如何选取，??E即腔内电场满足方程 ?2E边条件 ?En?n?0??2?kE?0都表现为??0?En?n?0 （法向） ??E ， n?E???0 理想导体的边界条件可以形象地表述为，在导体表面上，电场线与界面正交（n?E???0），磁感应线与界面相切(??En?n?0)。 ??在理想导体情形下，我们先求E，后求H，原因是因为E的边界条件是齐次式。而H的边界条件是非齐次式。 数学上，我们知道求二阶微分方程，要知道其在某一点的值，还要知道其一阶导数在该点的值。当然求n阶的时候，要知道n?1阶及其以下导数的值，即n个条件。 在求解空间内部，要求满足满足亥姆霍兹方程与边界条件。只有这样的电磁波才能存在。 （4）电磁波的模式 ?（i）TEM模式 ??电磁波的电场E，磁场H均垂直于传播方向。 （ii）TE模式 ??电磁波的电场E垂直于传播方向，但磁场H不垂直。 （iii）TM模式 ??电磁波的磁场H垂直于传播方向，但电场E不垂直。 （5）例题（教材160页）证明两平行无穷大导体平面之间可以传播一种偏振TEM电磁波。 证:设直角坐标系中的坐标轴y与两导体板垂直，边界条件为在两导体平面上，设电磁波沿z方向传输。 Ex(x,y,z,t)?Ex0(x,y)ei(kz??t) i(kz??t)Ey(x,y,z,t)?Ey0(x,y)eEz(x,y,z,t)?Ez0(x,y)e i(kz??t)由边界条件 Ex?Ex?0 y?0y?dEyy?0?Eyy?d?0 可得 Ex?Ez?0（在两导体板间） 另一方面，由 ?ex?ey??yEy?ez??z0???Ey??Ey(ex?ez)???z?xi??iH????E??=?i?0???x ?Hy?0，(或边界条件?Ey?y?0) 若沿z轴传播的平面电磁波的电场沿y轴偏振，则此平面波满足导体板上的边界条件，因此可以在导体板之间传播。另一种偏振的平面电磁波（电场与导体面相切）不满足边界条件，因而不能在导体面间存在，所以在两导体板之间只能传播一种偏振的TEM平面波。 三、谐振腔 谐振腔的用途是激发一定频率的电磁振荡，LC振荡电路只能产生低频的振荡，因其激发的频率为f?12?LC ，要产生高频振荡，L、C要很小，但L、C太小时，电感、电容不能使电场集中分布于它们内部，向外辐射损耗随频率提高而增大，另一方面由于趋肤效应，焦耳损耗将增大。因而LC回路不能有效地产生高频振荡。在微波范围，常用有金属壁面的谐振腔来产生高频振荡。在光学中，也采用由反射镜组成的光学谐振腔来产生近单色的激光束。 下面讨论谐振腔内的电磁振荡， 取金属壁面分别为，x?0,L1； y?0,L2; z?0,L3 腔内电磁场的每一直角分量都满足亥姆霍兹方程。 若以 u(x,y,z) 表 E，H任一直角分量，有 ?2u?k2u?0 ??分离变量法，令 u(x,y,z)?X?x?Y?y?Z?z?=X(x)Y(y)Z(z) 则亥姆霍兹方程可分解为3个方程 ?2?kX?0x?2dx?2?dY222222?kY?0? kx?ky?kz?k????y2dy?2?dZ2?kzZ?0?2dz?dX2 得驻波解： u?x,y,z??(C1coskxx?D1sinkxx)?(C2coskyy?D2sinkyy)? (C3coskzz?D3sinkzz) 六个 Ci ，Di 为任意常数，由（1）界面x对x?0，y?0?En?n?0?En?n?0 ， n?E???0确定 ，z?0 ?0x?0?0的面 即 ?Ex?x ? D1?0 即Ex中含x的项是coskxx ?0 ???n?E?0 即 ex?E??x?0 Eyx?0?Ezx?0?0 即Ey，Ez中含x的项是sinkxx 。 ?0同理，对yEy 的面使用 ?En?n?0 ， n?E???0 可得出 中含y的项是coskyy，Ex，Ez中含y的项是sinkyy 。 对z?0的面使用?En?n?0， n?E???0 可得出 Ez中含z的项是coskzz，Ex，Ey中含z的项是sinkzz （4.15） 故 Ex?A1coskxxsinkyysinkzzEy?A2sinkxxcoskyysinkzzEz?A3sinkxxsinkyycoskzz（2）界面 x?L1，y?L2，z?L3 再考虑x?L1 面 mL1?Ex?xx?L1??A1kxsinkxL1sinkyysinkzz?0 ? kx?? 同理对 y?L2 面、z=L3面， 可得 ky?nL2? ， kz?pL3? (m,n,p?1,2,3,?),最多只能有一个为零，若两个为零，则导致整个电场为零） （x?L1面上Ey满足） （3）本征频率 另外，由腔内??E??0得 ?Ez?0；y?L2面上Ex?Ez?0；z?L3面上Ex?Ey?0已自动(?kxA1?kyA2?kzA3)sinkxxsinkyysinkzz?0 即 kxA1?kyA2?kzA3?0 mL1，当满足此式及kx?A1、A2、A3中只有两个是独立的（即只有两个场模）ky?nL2? ， ?， kz?pL3? 时，（4.15）代表腔内电磁场的一种可能模式，称为一种本征振荡。只有满足一定的条件时，相应的函数形式，即为本征态（固定频率），也称为谐振频率。相应的器件称为谐振腔。对每一组(m,n,p)值，有两个独立的偏振波型，谐振频率 ?m,n,p?1kx?ky?kz222??????(mL1)?(2nL2)?(2pL3)2 其中，k???? ?m,n,p称为谐振腔的本征频率。若(m,n,p)中有两个为零，则kx，ky，kz中有两个为零。故腔内E其谐振频率为 ?f??0 ，若 L1??L2??L3 则最低频率的谐振波型为(1,1,0)，f1,1,0??1,1,02??1?12??1L12?1L22 相应的波长 由 ?? ， ????? ，得到与频率21L1?1L2f1,1,0 ?1,1,0?f1,1,0 它与谐振腔线度 L1 、L2同数量级。 微波技术中通常用最低频率的波型来产生电磁振荡，更高频情况下也用到谐振腔的一些较高波模。由于谐振腔有损耗，又要维持一定的输出功率，必须从外界供给能量来维持腔内的电磁振荡。一般用腔内电子束与电磁场相互作用把直流电源的能量转变为腔内高频电磁波的能量。