第四章 电磁波的传播(3)

?????BE?dl???dS??L???tS 对于单色平面电磁波，上式可改写为 ??L????E?dl?i???B?dSS 设在介质Ⅰ、Ⅱ的分界面两侧分别取两个和分界面平行且完全相同的闭合回路，如图所示： 对于两个回路有 ????L1????E1?dl?i???B1?dS???? E2?dl?i???B2?dSS2S1L2考虑到L1?L2?L，S1?S2?S，则 ????L????E1?dl?i???B1?dS????E2?dl?i???B2?dSSS L即 ????LE1t?dl?i???B1n?dSS LE2t?dl?i???B2n?dSS两式相减得 ??L(E2t?E1t)dl?i???(B2n?B1n)dSS 如果n?(E2也就是说 ????E1)?0即E1t?E2t，故上式左边为0，则得到B2n?B1n?0，即B2n?B1n ??????n?(E2?E1)?0,与n?(B2?B1)?0只有一个独立 b）同理，由??L??H?dl???S??D?t??dS出发，对于单色平面电磁波，有 ??L????H?dl??i???D?dSS 对于两个完全相同的回路 ?????H?dl??i?D?dS??L1??1??S?????H?dl??i?D?dS???L2??2?S? 两式相减，有 ??L(H2t?H1t)dl??i???(D2n?D1n)dSS ?0，则得到n?(D2???D1)?0?如果n?(H2???H1)?0,即H1t?H2t，故上式左边为，即D2n?D1n 也就是说 ??????n?(H2?H1)?0,与n?(D2?D1)?0只有一个独立 ??????E1)?0,n?(H2?H1)?0。??因而，讨论单色波的边值关系时只须保留n?(E2???虽然B是比H更基本的量，但由于H只与自由电流有关，而B与磁化电流、极化电流有关。使用H比较方便。 当面的曲率半径????，界面可看作平面。电场传到界面，界面上出现极化电荷，磁化电流，此时，场由自由电荷、传导电流，极化电荷、磁化电流共同激发。 假设：① 界面为z?0的平面、无穷大平面，z?0空间为介质2，z?0空间为介质1，即界面法向为z轴正向。 ②由Fourier频谱分析可知，反射波和折射波与入射波一样，也是平面单色波。否则不满足边值关系。或者说由于要满足麦克斯韦方程组，所以是解。（麦克斯韦方程组完备性定理），在这里要满足亥姆霍兹方程和边值关系即可。 ③由介质1射向介质2，介质1中总场强为入射波与反射波的叠加，介质2中只有折射波。 电场强度 波矢 电场表达式 入射波 ?E反射波 ?E? 折射波 ?E?? ?k?k? ?k????i(k??x???t)E?E0e??i(k???x???t)??e E?E0??i(k????x???t)????e E?E0 在z?0的平面上有一些边界条件，该平面上的一切点必须永远满足这些边界条????????件，n?(E2?E1)?0（n?(E?E?)?n?E??）。这个事实意味着：在z?0处，所有场的空间和时间变化必须相同。因此，所有的相因子在z?0处必须相等，即在边界面上E2t?E1t 将平面电磁波代入上式有 [E0te??i(k?x??t)?te?E0??i(k??x???t)]z?0??te?E0??i(k???x????t)z?0 要使该式成立，只要 ?E0t?t? ?E0z?0??t?E0z?0 ???k???x????t以及k???x??tz?0???k??x???tz?0z?0（指数因子相等）成立 ?x?ky?y???t?kx??x?ky??y????tkxx?kyy??t?kx 因为x,y,t都是独立变量，若相等，必有它们的系数应各自相等，即有 （1）???????? （2）kx?kx??kx?? （3）ky??ky?? ?ky （1）式说明反射波、折射波的频率与入射波的频率相同。 ?取入射波矢k所在的平面为xoz平面，即选择坐标系使得ky?0，由此可得 ??ky???ky?0ky 即得出入射波矢、反射波矢、折射波矢在同一平面内，（1） 设入射角为 ? ，反射角为 ?? ，折射角为 ??? 则有 kx?ksin?，kx??k?sin??，kx???k??sin??? 由（2）式 可得 ksin??k?sin???k??sin??? 其中 k?k????1?1，k?????2?2 。 因此有 ? sin?sin????k??k????， （2） ?v1v2?n21。 （3） ?2?2?1?1这是我们熟知的反射和折射定律。对一般介质，除铁磁质外都有 ???0。因而介质2相对于介质1的折射率n21??2?1，但应注意，单色波的频率?不同，?就不同，这是色散在折射问题中的表现。 二、振幅关系 菲涅耳公式（入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位） Fresnel’s Formula（i.e. Amplitude Relation） 所谓菲涅耳公式就是在边值关系条件下求得的入射波、反射波和折射波的振幅关系。由于对每一个波矢k有两个独立的偏振波，所以我们只需要分别讨论E?垂直于入射面和E平行于入射面两种情形 1、E垂直入射面 由 n?(E2????????E1)?0, ?? E?E?? HE?? （1） n?(H2?由第一节中 H???H1)?0 ?cos??H?cos???H??cos???（2） ?k??k??E?????n?E， 得 H???E????0(???0)E ? H??1?0E H???1?0E? H????2?0E?? 因此 ?1(E?E?)cos???2E??cos??? （2） E?? ① ?由下面三个式子联立 E?E?? ?1(E?E?)cos? E?Esin?sin????2E??cos??? ② ??2?1 ③ 可解出：①代入② ?1(E?E?)cos?E?E)cos????2(E?E?)cos??? E?E)cos??? 两边同除E ?1(1? E?E(?1cos???2(1??2cos???)??1cos???2cos??? ?2?1?2?1 E?E??1cos???1cos???2cos????2cos???cos???cos??cos??? cos???cos??sin?sin???sin?sin???cos?????cos??? ?cos??sin?cos????cos?sin???sin?cos????cos?sin??? ??sin(?????)sin(?????) ， ?E??E?1?E?E?2cos?sin???sin?cos????cos?sin????2cos?sin???sin(?????)。（2.12） （2）E平行入射角 由n?(E2 n?(H2??????E1)?0, ? Ecos? H?2?1?E?cos??E??cos??? ① ??H1)?0 ??H??H?? ② sin?sin???? ③ 联立可解 将H??1?0E H???1?0E? H????2?0E??代入② 即?1(E?E?)??2E?? 代入上式得 Ecos??E?cos???1?2(E?E?)cos??? 两边除E cos??E?Ecos???1?2(1?E?E)cos??? E?E(cos???1?2cos???)?cos???1?2cos??? E?Ecos???cos???1?2?1?2cos????cos???cos??cos??sin???sin?sin???sin?cos????cos???cos?sin??cos???sin???cos?sin??cos???sin??? =1??tg(???)?sin??sin??sin2??sin2???tg(?????)2?? ??1sin2??sin2???tg(?????)sin??sin??tg(???)??2? E??E??1?2(1?E?E)?sin???sin?(1?cos?sin??cos???sin???cos?sin??cos???sin???2cos?sin???) =sin???2cos?sin?sin?cos?sin??cos???sin????sin(?????)cos(?????) （2.15） ?sin(?????)cos(?????)?(sin?cos????cos?sin???)(cos?cos????sin?sin???) =cos?sin??cos???sin???? （2.12）、（2.15）两式称菲涅耳公式，表示反射波、折射波与入射波场强之比，也是振幅比（???n?(E20?E10)?0E0?E0，E0??E0）。因振幅满足同样边值关系 ,n?(H20????H10)?0. 由两个式子可看出，垂直入射面偏振的波与平行入射面偏振的波的反射、折射行为不同。因而，如果入射波为自然光（两种偏振光的等量混合），则经过反射、折射后，反射波、折射波都变为部分偏振光。 由（2.12）（2.15）可得到光学中的布儒斯特定律和半波损失。