第四章 电磁波的传播(7)

第五节 波导 一、高频电磁能量的传输 近代无线电技术如雷达、电视和定向通讯等都广泛地应用到高频电磁波，因此，需要研究高频电磁能量的传输问题。我们知道能量是在场中传播。在低频时，由于场与线路中电荷和电流的关系比较简单，因而场在线路中的作用往往可以用线路的一些参数（电压、电流、电阻、电容和电感等）表示出来。在这情况下，我们可以用电路方程解决实际问题，而不必直接研究场的分布。在高频情况下，场的波动性显著，集中的电容、电感概念已不再适用，而且整个线路上的电流不再是一个与位置x无关的量，而是和电磁场相应地具有波动性质，此外，电压的概念亦失去确切的意义。因此，在高频情况下，电路方程逐渐失效，我们必须直接研究场和线路上的电荷电流的相互作用，解出电磁场，然后才能解决电磁能量传输的问题。 低频电力系统常用双线传输，频率变高时，为避免因电磁波向外辐射引起的损耗（正比于频率的四次方）及周围环境的干扰，可改用同轴线（电缆）传输（限制场的能量在圆筒层内）。频率更高时，趋肤效应明显（同轴线解决不了）、支持轴心导线的介质损耗也随频率的增大而加剧，同轴线传输的损耗也太大，要用波导。波导是一根空心的金属管，截面通常为矩形或圆形。波导适合于传输微波。我们只讨论矩形波导。 二、矩形波导中的电磁波 取管内壁为x?0和x?a； y?0和y?a取传播方向为z轴。 与谐振腔相同的是管内电场（一定频率下）也满足 ??22?E?kE?0，??E????0， n?E?0 ??与谐振腔不同的是电场、磁场要沿z轴传播，因而E，B都应有传播因子ei(kzz??t)，eikzz为传输项沿z轴传播。因此取电场的空间部分E(x, y ,z)为???ikzE(x, y,z)?E(x, y)ez，E(x, y)为依赖于(x,y)的参量。 ?代入?2E??2?kE?0?22 2得(??x??2?y??22)E(x,y)?(k?kz)E(x,y)?0 同理B(x, y,z)??ikzB(x, y)ez 22??????22(?)B(x,y)?(k?k)B(x,y)?0也满足B(x,y)z22?x?y设B(x,y)，E(x, y)的六个直角分量中任一个为u(x,y) 它满足(?22???x??22?y)u(x,y)?(k?kz)u(x,y)?022， 分离变量，令u(x,y)?X?x?Y?y?u, 则Yd22dxX?Xd22dyY??(k?kz)XY1dXXdx1d222222, ??(k?kz),22方程两边同除XY得:，令1d22?1dYYdy222可分离变量， XdxX??k2x ，YdyY??ky, 其中kx2?ky2?k2?kz2, dYdy22即原方程分解为两个方程：dXdx22?kX?0,2x?kyY?02， 特解：X?x??C1coskxx?D1sinkxx, Y?y??C2coskyy?D2sinkyy， u?x,y???C1coskxx?D1sinkxx??C2coskyy?D2sinkyy? ????n对E(x,y)、B(x,y)的某特定分量，由?E?0,?En?n?0， 可得到对常数的限制条件，这两个条件具体化为： x?0,a时 Ey?Ez?0,?Ex?x?0 y?0,b时 Ex?Ez?0,x?0面,由 ?Ex?x?0?Ey?y?0 得Ex中含x的项是coskxx ,Ez中含x的项是sin kxx 中含y 的项是coskyy 由Eyy?0?Ez?0 得Ey?0 得Ey面,由?Ey?y 由Ex?Ez?0 得Ex,Ez中含y 的项是sin kyy 因此 Ex?A1coskxxsinkyyeikz z Ey?A2sin kxxcoskyyeikz zEz?A3sinkxxsinkyyex?aikzz m?an?a面, 由Ey?Ez?0，得kx? ， (m,n?0,1,2,?)多一个为零，否则电y?b面, 由Ex?Ez?0，得ky?场为零。 由??E??0，得kxA1?kyA2?ikzA3?0,说明(A1,A2,A3)中只有两个是独立的，只?有两个场模。对每一组(m,n)值有两种独立波形（偏振），解出E后可由????E?i??H得到磁场 H???i?????E。 ??注意，在矩形波导管内传播的电磁波，电场E和磁场H不能同时为横波.（证明） 例如，如果电场是横波，即Ez?????ez（k?kez），即是Ez?0 ?0,或者n?0 则由Ez?A3sinkxxsinkyyeikz, (m,n?0,1,2,?) 看出m（二者不能同时取0，那样的话，Ex例如m?0,n?0, ?Ey?Ez?0，管内无电场）, 则kx?ez??0,ky?0,Ey?0,Ex?0，则由H???i?????E ?ex?ey??y0 =?i?Ex???x?z0????Ex??Ex(ex?ez)，Hz?0???z?yi，即磁场不是横波，通常选一种波模为横电波（TE），另一种波模为横磁波（TM）。 三、截止频率 由上面讨论知：kx,ky 满足kx?m?a,ky?n?b,(m,n?0,1,2,?)它们由管截面的几何尺寸a,b及波模m,n决定。由于kz2?k2?(kx2?ky2)??2???(kx2?ky2)，如果电磁波的频率?使k2??2???kx2?ky2，则kz变为虚数，传播因子eikz将变为衰减因z子，电磁波在z方向不断衰减，对确定的a,b,m,n,在波导中传播的最低频率?c（使kz?0即k2= kx2?ky2=0的?）称为该波模的截止频率。 ???mn22)?()ab波导a,b一定，因而?c与m,n有关，?c,mn若a?b则?(， TE10波有最低的截止频率， 12??1v?1?????2a2a???a?fc,10?c2a2fc,1.0?12??c,10?， 如波导管内为真空则，， ?cfc,10?2a截止波长（能传播的最长波长），?c,10， 由于波导尺寸不能做得过大，因而不能传播波长太长的无线电波，在厘米波段，波导用的最广泛，最常用的是波模是TE10波。它具有最低的截止频率，而其它高次波模的截止频率都比较高。因此，在某一频率范围，我们总可以选择适当尺寸的波导使其中只通过TE10波。 关于管壁上的电流问题我们不讨论。 第六节 等离子体 当物质的温度升高或受到电离时，电子和正离子分离，形成由电子和正离子组成的物质状态，这种电离物质在宏观上保持电中性，称为等离子体。 等离子体物质在天体物理及受控核聚变等领域有着重要应用。 本节主要讨论等离子体的电磁性质，讨论的依据是麦克斯韦方程组。因为麦克斯韦方程组是电磁现象普遍适用的，正如我们在讨论介质中的电磁场和导体中的电磁场时，除了麦克斯韦方程组，还要考虑介质和导体的电磁性质方程一样，现在 我们也要考虑等离子体的电磁性质的方程。所不同的是等离子体的电磁性质方程比介质和导体的复杂。我们不做一般讨论，而是在某些特殊条件下做简化处理。 一、 等离子体的准电中性和屏蔽库仑场。 等离子体处于热平衡，在原点x???0处放置一个静止的正点电荷q ，其电荷密度为q?(x) 。设放置点电荷前，热平衡条件下，等离子体中正离子密度分布为??ni(x) ，负离子(电子)密度分布为ne0(x)。置入点电荷后，正负离子密度分布将改变，因负离子受到q的吸引，而正离子受到q的排斥，这三部分点电荷共同作用产生电场和电势? 。进一步假设正离子分布不受影响，仍为热平衡下的分布???e?(x)/kTni(x)，负离子的分布将是玻尔兹曼分布 ne(x)? neoe， 因为电子在电势?下的能量为???e? ，于是电势?为满足泊松方程 2?0????znie?ne(x)?q?(x) 其中z为正离子的电荷数。 假设 kT??e? ，有 ne因此 ?0??2?neo(1?e?kT) ??(zni?neo)e?neoe?kT2??q?(x) 由于在外加点电荷q前，等离子体宏观上是电中性的，因此Zni?neo。 故 ?0??2?neokT?0neoe2e?kT2??q?(x) 若令 ?2?