第四章 电磁波的传播(2)

说明，电场是在垂直于x轴的平面上振动。 ?场强的全表示式为 E(x,t)???i(kx??t) E0e只要E0???ex，上式即代表一种可能的波模。 （2）为什么说这是平面波呢？ 空间中坐标x分量相同的点（处于同一个平面）具有相同的场强（相位相等），可见其等相面垂直于x轴。 （3）传播方向 至于传播方向、波速可由位相因子看出。前面说过，E0ei(kx??t) 理解为取实?部E(x,t)???E0cos(kx??t)。当t?0时，波峰满足kx??t?=0?波峰是x?0的平面，t时刻波峰kx??t=0?x??kt平面。由此看出传播方向沿x方向。 （4）波速，色散 传播速度 ??xt??k??????1?? ，或写成??1?0?r?0?r?c?r?r， ?r、?r为相对电容率、相对磁导率，它们是?的函数，对不同频率，电磁波在介质中有不同的波速——色散现象。 （5）特征量 波长 周期 当x固定，相差2?的位相面?????t?2?，?t?2??k?T。 当t固定，相差2?的位相面???kx?2?，?x??2???。 上面讨论的只是特殊情况下亥姆霍兹方程的解。满足一般形式的亥姆霍兹方程的平面单色波是E(x,t)?E0ei(k?x??t)，其中k大小(波数，为距离2?内的波数)为??2?k??????v??????? 方向为沿波传播方向，称为波矢。 容易验证上述E(x,t)满足亥姆霍兹方程。 （1）?2(E0eik?x)e?i?t?k2E0ei(k?x??t) ?(?kx?ky22?????????i(k??x?i(k??x????t)2??t)?kz)E0e?kE0e2 ?0 ?（2）当然，此E必须满足??E??0才是电磁波解。 ???i(k??x????i(k??x??????t)i(k?x??t)??t)??E???(E0e)?E0??e?E0?ike?ik?E?0。因此E?k，此???式说明电场的波动是横波（在垂直于传播方向的平面内振动），可选与k垂直的两个互相垂直的方向为独立的偏振方向。 （3）又为什么说它是平面波？(1)因在垂直于k的平面上，无论场点位置如何??x?k?x'k??=常数（平面的点法式方程）。(2)由位相因子ei(k?x??t)看出，同一时刻垂???直于k的平面上位相相等，此垂面是等相面。因此此解为沿k方向传播的平面电磁波。 注意到在平面单色波的求解过程中满足对应关系， ????ik , ??i??t ???i(k??x?从电场的表达式E(x,t)?E0e??t)，可求出磁场 ???????iii?i(k??xi(k?x??t)??t)B????E???e?E0??ike?E0?????kk=?E??E???k?n??kk?k???k???E?k 1??n?E??n?E???? 为波传播方向单位向量。 ?????E由以上看出平面单色波的B、E方向, B其中B?k也可由??B????0, B?k, E?k ????得出： ?????i(k??x????i(k??x??????t)i(k?x??t)??t)??B???B0e?B0??e?B0?ike?ik?B?0由上面看出E、B、k是三个互相垂直的矢量，由相位因子还可看出E、B同位相，振幅比 ?E??B1???????，真空中?E??cB 可概括平面单色电磁波特征如下： ???B（1）由??E???t????k?E??B?00??????k?B0???E0???D，??H??t，可得 ??这表明电场磁场不独立，而且E与B互相垂直，振动方向与传播方向三者互相垂直，并满足右手螺旋法则。横波E?k、B?k，E?B沿k方向（由B???n?E也可看出） ??????????（2）E、B同位相，振幅比为相速?。（由B?????1??n?E） 平面波的理论价值，是三维空间波动的函数系。数学上称之为傅立叶分析，空间的波都可以写成平面波的叠加。实际生活中，多为平面波。多种不同频率的电磁波在介质中传播。由于波速不同，出现不同的分布-----称之为色散。 四、平面电磁波的能量和能流 由第一章第六节，电磁场能量密度为 w?1????1122(E?D?H?B)????（?E?B)均匀介质22??E??B1 对平面电磁波 ??，即?E2?1?2B2 平面电磁波的能量密度为 w而能流密度 S???E?1?B2 ?????1???E?H?E?B(B????n?E) =E? =?1?1???n?E??????????E?n?E???2?En ???En??wn2 还可计算w、S的瞬时值、平均值，由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场强的复数表示直接代入，这是因为 ?cos?t?cos?t， ?这就要求计算w、S的瞬时值时，应把场强的实部代入，即为 ??22w??E0cos(k?x??t)e?ei?ti?t?12???E?1?cos2(k?x??t)???20 ?S实际上，w、都是随时间迅速脉动的量，只需用到它们的时间平均值，即 1TT0w?1T1?T0wdt?20?T012T2??E0??1?cos2(k?x??t)?dtT0???1??E?2?T?dt?1????cos2(k?x??t)dt?? 因为 1T1T??T0T0dt?1??cos?2(k?x??t)???dt?0 故得 w?12?E?201B02?2 同理可得 ?1S?T?12?T0?1Sdt?T??En20?T0??wndt??? ???从而得到S??wn 这里给出复二次式求平均值的一般公式： 若f(t)?f0e?i?t， g(t)?g0e?i?t?i? ， fg?12f0g0cos??12Re(fg)? 第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 本节所要研讨的问题是：用Maxwell电磁理论来分析在介质的分界面上，电磁波将发生的反射和折射规律。 电磁波通过介质分界面时，发生反射和折射，我们要研究反射和折射规律，内容包括（1）运动学规律，入射面、反射角、折射角的关系，（2）动力学规律，入射波、反射波、折射波的振幅比和相位关系。运动学规律是直接从光在两种介质的分界面上的反射和折射现象的波动性质及其所满足的边界条件得出的，但不依赖于波的性质或边界条件。而动力学规律完全依赖于电磁场的特定性质以及边界条件。 研究电磁波反射折射问题的基础是电磁场在两个不同的介质界面上的边值关系。下面我们利用电磁场的边值关系来分析反射和折射的规律。 一、反射和折射定律（入射角、反射角、折射角的关系）Law of Reflection and Refraction (i.e. Phase Relation) 任何波动在两个不同界面上的反射和折射现象属于边值问题，它是由波动的??基本物理量在边界上的行为确定的。对电磁波而言，E、B是由的边值关系确定的。 因此， 研究电磁波反射和折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的边值关系。 第一章第五节, 我们由麦克斯韦方程组的积分形式导出了电磁场的边值关系 ??????? n?(H2?H1)??（面自由电流密度） n?(E2?E1)?0，???n?(D2?D1)??（面自由电荷密度）， n?(B2????B1)?0 ?0?在两种绝缘介质的分界面上是不可能有面自由电荷、面自由电流的，?????????n?(E2?E1)?0, n?(H2?H1)?0, n?(D2?D1)?0?，??0 , n?(B2????B1)?0 ???B正如上节证明的，对频率一定的电磁波（时谐电磁波或单色波）??E??，?t?????D??H?，??D?0，??B?0四个方程不独立，后二个方程可由前二个方程?t导出，上面四个边值关系也是不能独立的（对单色波），后二个可由前二个导出。 下面，证明边值关系式不是完全独立的这个问题。 a) 由法拉第（Faraday)电磁感应定律出发：因为