电磁场与电磁波作业电子版
071244146 朱志峰 071214121 周少波
1.6 证明：如果A?B?A?C和A?B?A?C,则B?C。
解: A?B?A?C，有A?(A?B)?A?(A?C) (A?B)?A?(A?A)?B?(A?C)A?(A?A)?C 由
A?B?A?C
同理有(A?A)?B?(A?A)?C ∴B?C
1.14 利用直角坐标系证明：
?(uv)=u?v+v?u
证明：u?v+v?u=u((?vx?x??vy?y??vz?z)?(vx?u?x?vy?u?y?vz?u?z)
=(u?vx?x?vx?ux?x??y)?(u?vy?y??z?vy?uy?y)?(u?vz?z?vy?vy?y)
=
??x(uvx)?(uvy)?(uvz)
=?(uv)
1.15 一球面S的半径为5，球心在原点，计算?(er3sin?)?ds的值。
s 解：ds??rsin?drd??rdrd?
原式=?er3sin??ds?s?3sin?r2drd?
=15?ersin?d(5er)d? =75?
2
补充题 已知在直角坐标系中U(x,y,z)，求证?f(u)? 证明：?f(u)?exdf(u)du?u。
?f(u)?x?ey?f(u)?y?ez
?f(u)?z
=exdf(u)du??u?x?eydf(u)du??u?y?ezdf(u)du??u?z
=
df(u)du?u
??????????1.23证明：（1）??r?3；（2）??r?0；（3）?(k?r)?k。其中r?exx?eyy?ezz，k为一常矢量。?ry?rz??r证明：（1）??r?x???x?y?z????又?r?exx?eyy?ezz????r?1?1?1?3???rz?ry??rx?rz??ry?rx（2）??r?e（?）?e(?)?e(?)xyz?y?z?z?x?x?y?????r?exx?eyy?ezz??rz?y??ry?z??rx?z??rz?x??ry?x??rx?y?0????r?0??????（3）设k?exkx?eyky?ezkz，则k?r?kxx?kyy?kzz??????????????(k?r)?ex(kxx?kyy?kzz)?ey(kxx?kyy?kzz)?ez(kxx?kyy?kzz)?exkx?eyky?ezkz?k?x?y?z
学号071244104 陈继龙 学号071244103 陈凤的作业 1.28 利用直角坐标，证明
??? ??fA?f??A?A??f
?? 证明：在直角坐标下，
?=Axe??xx+Ayey+Azez, ??yey???zez ,
?? 则
ex??????????f?f?f?f??A?A??f?f?Ax?Ay?Az?Ax?Ay?Az???fA ???x?y?z?x?y?z????
1.30利用直角坐标，证明
??? ??fG?f??G??f?G
?? 证明：在直角坐标系下, ????xex???yey???zez,
? fG?fGxe, ?fGye?fGzexyz???fGz???fGy??fGz??Gx??fGx?? ??fG???fGye??e????y??x??y?z?z?x?y??????x?????ex ???Gz?Gx?Gx?Gx?Gy?Gx f??G?f[((?)ex?(?)ey?(?)ez]
?y?z?z?x?x?y?f?x?f?y?f?z ?f?ex?ey?ez
?f?G?(?f?yGz??f?zGy)ex?(?f?zGx??f?xGz)ey?(?f?xGy??f?yGx)ez
??? 所以：??fG?f??G??f?G
??
1.31利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明??(?u)?0及
???(??A)?0，试证明。
? 证明：（1）由斯托克斯定理知
?s???(?u)?ds?
?c?u?dl???du??c10du??01du?0
因为曲面是任意的，所以被积函数??(?u)?0 ?（2）由散度定理知，???(??A)dV????A?ds
vs 把闭合曲面任意分成两半， 由斯托克斯定理知，有
?s1(??A)?ds??c1?A?dl
?s2(??A)?ds??c2?A?dl
因为C1和C2同一回路，方向相反。
所以
?sc1?A?dl? ??c2?A?dl
? ???A?ds?0
也就是???(??A)dV?0
v 又因为体积是任意的，
? 故得：??(??A)?0
????dAdA补充题 证明 ??A（u）??u?，其中u?u(x,y,z)。 ;??A（u）??u?dudu????????A(u)y?A(u)x?A(u)zdA?uxdA?uydA?uz证明：???A（u）???????x?y?zdu?xdu?ydu?z???uy?uzdA?uxdA?(??)??u?du?x?y?zdu????????A(u)y?A(u)x?A(u)z??A(u)z??A(u)x??A(u)y???A（u）?ex(?)?ey(?)?ez(?)?y?z?z?x?x?y???????dA?uz?dA?ux?dA?uydA?uydA?uzdA?ux?ex(?)?ey(?)?ey(?)du?ydu?zdu?zdu?xdu?xdu?y ??uy?ux?uz??u??uydA??uz?[ex(?)?ey(x?)?ey(?)]du?y?z?z?x?x?y?dA??u?du071244143 张康 071244144 张黎明
2.3 电荷Q均匀分布在半径为r的导体球面上，当导体以角速度?绕通过球心的z轴旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为
v???r?e??rsin?
球面的上电荷面密度为
??Q4?a22
Q?4?as?in
故 JS??v?e?
Q4?a?asin??e?2.5 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度?绕一个
直径旋转，求球内的电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且
r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为
v???r?e??rsin?
球内的电荷体密度为
??Q4?a3Q4?a333
3Q?4?a3故 J??v?e??rsin??e?rsin?
2．12 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为?。证明：垂直于平面的z轴上z?z0处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。
解 半径为r、电荷线密度为?l??dr的带电细圆环在z轴上z?z0处的电场强度为
dE?ezr?z0dr2?0(r?z0)2232
故整个导电带电面在z轴上z?z0处的电场强度为
?E?ez?0r?z0dr2?0(r?z0)2232??ez?z021212?2?0(r?z0)?ez0?2?0
而半径为3z0的圆内的电荷产生在z轴上z?z0处的电场强度为
3z0E??ez?0r?z0dr2?0(r?z)22320??ez?z021212003z02?0(r?z)?ez?4?0?12E
2．16 一个一半径为a的导体球带电荷量为q,当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转时，如
图题2.16所示,试求球心处的磁感应强度B. 解：球面上的电荷面密度为
当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量
点处的电荷面密度为
将球面划分为无数个宽度为圆环的电流为
的细圆环，则球面上任意一个宽度为
的细