H0?I2?0r2a2 e? （0?r?a）b ?2H?1H?Ir?e? a （a?r?b）
?
?1 B0??0Ir?2?ae2?0
（0?r?a） ?2B?1?1B?2I??12r?e?（a?r?b）
因为同轴线内外导体间的磁场沿?方向，在两介质分界面上只有法向分量。由边界条件可知，
B1?B2
B1?B2?????1a0I??12 ?a?r?b? e???r2?Wm?1?H220?0B1?2?rdr?021?2baB1?r+
21?1?2bB22a??rdr
2 =
?I16??12???I?a?ln??
2???????b?2122(2)WmLIm
?L?2WI2??8?0???b??ln?? ???????a?1212
071244135 谭劲松 071244136 屠跃
3.20 如图题3.20所示的长螺线管，单位长度上密绕N匝线圈，通过电流I，铁心的磁导率为μ、截面积为S,求作用在他上面的磁场力。 解：由安培环路定理： H?NIex
设铁心沿x方向有一位移dx，则磁场能变化为：
dWm?[?1212???NI?222212?0NI]Sdx22⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕? ⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
(???0)NISdxx 22(???0)NIS
则FX??Wm?xI?C?12图 3.20
所以作用在铁心上的磁场力为
12(???0)NIS。
223.22 一个点电荷q放在60°的接地导体角域内的点（1，1，0）处，如图题3.22
所示。试求：（1）所有镜像电荷的位置和大小；
（2）点P（2,1,0）处的电位。
解 <1>这是一个多重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷q到角域顶点的距离
为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于q，且正负电荷交错分布，其大小和位置分别为
y ???q, q1????x1?????y1????x2?????y2????x3?????y3????x4?????y4????x5?????y52cos752sin75??0.366?1.366??
? q1? q2(2,1,0)(1,1,0) ??q,q22cos1652sin1652cos1952sin1952cos2852sin2852cos3152sin315??1.366?0.366??1.366??0.366?
60?? q3x
?o ? q4 ? q5???q,q3?
? 图 3.22
??q,q4?0.366??1.366?1??1?
???q, q5??
<2> 点x?2,y?1处电位 ?(2,1,0)??q????q2??q3q5q1q4????????
4??0?RR1R2R3R4R5?q0.3219(1?0.597?0.292?0.275?0.348?0.477)?q?2.88?10q(V) 4??04??01
3.23一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面的下方，与平面相距为h。欲使带电体收到静电力恰好与重力相平衡，电荷q的量值应为多少？（设m=2×10?3kg，h=0.02m）
解 将小带电体视为点电荷q，导体平面上的感应电荷对q的静电力等于镜像电荷q?对q的作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为q???q，位于导体平面上方为h处，则小带电体q受到的静电力为 fe??q224??0(2h)
q22令fe的大小与重力mg相等，即
4??0(2h)?8?mg
于是得到 q?4h??0mg?5.?9
10 C3.26如图题3.26所示，在z<0的下半空间是介电常数为ε的电介质，上半空间
为空气，距离介质平面h处有一点电荷q。试求：（1）z>0和z<0的两个半空间内的电位分布；（2）电解质表面上的极化电荷密度，并证明表面上的极化电荷总量等于镜像电荷q′。
解 （1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷与点电荷q对称分布。
对介质?0中的电位尝试解为（如题3.26图b所示）
?1=q2??0R1?q?2??0R? ?z?0?
对介质?中的电位尝试解为（如题3.26图c所示）
z z qz q?q??q ? ?0 h R1o ? h P P 题 3.26图a
? h?0 h R2o R? ?0 o 图 2.13q ? 题 3.26图b
题 3.26图c
?2=q?q??4??R2 ?z?0?
在z?0的分界面上，电位应满足的边界条件为
??1??2?? ?1z?0??2z?0;?0?zz?0?z因此有
解得
z?01?0?q?q???1??q?q???;q?q??q?q??
q???q??????0???0q，位于 z??h q， 位于 z?h
???0???0上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q?共同产生，即 ????01??1?????224??0R14??0R?4??0???0r?(z?h)??下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q??共同产生，即
qq?q??? 22r?(z?h)??1 ?2?q?q??4??R2?q2?(???0)21r?(z?h)2
（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为
?P?????n??P1?P2???2?z???1?zz?0??0?E1z?E2z???z?0
232=?0(或利用
?)(???0)hq2?(???0)(r?h)2z?0
???P2?0,??P?n?P2z?0?Pz2z?0??????0Ez1z?0?????????20?z
z?0????0?qh???322?????0??r2?h2????
极化电荷总电量为
qP???PdS???P2?rdr??S0(???0)hq????0?(r0r2?h)232dr??(???0)q???0?q?
注意: 因为
类比有 所
??S??D?ds??V????dV?n??D1?D2???s，
??S???????????P?ds????dV?n??P1?P2????sP。又D?P??0E?P?D??0E
V以
??????????????有
???SP??n??P1?P2???n???D1??0E1???D2??0E2????n??D1?D2??n??0?E2?E1???????S+n??0?E1?E2????S+?0?E1n?E2n?
071244115 胡琦旖 071244116 胡永恒
3．29如图题3.29所示的导体槽，底面保持电位U0，两个侧面的电位皆为零，试求槽内的电位分布。
y 0 U0 x a
解:由题意知，电位函数满足以下边界条件 ?x??x ??y?y??0,??0?a,??0?0,??U0??,??0
这属于第一类边界问题，可设其通解为：
? ??由y?0,??Uo得
?n?1?n?xAnsin??a??e??n?ya
?n?x?U0=?Ansin??
a??n?12aa0??An???n?xU0sin??a??dx ? ?2U0n???1?co?sn????
?4U0? ??n??0 ???=4U0??n为奇数??n为偶数?
??n?xsin???an?1,3,5...n1??e??n?ya
??????3.31如图题3.31所示，在均匀电场E0?exE0中垂直于电场方向放置一根半径为a的无线长
导体圆柱。求导体圆柱外的电位和电场强度，并求导体圆柱表面上的感应电荷密度。