?1?H?????Drsin?H??J???????rrsin??????t????1?1?H??D???r?rH?J????????rsin????r?t????1??D??H?????rH???r??J??????t??r??r?1???E???Hrsin?E??????????rsin??????t??????H???1?1?Er?rE?????????rsin????r?t????1??H??????rE?E????r?????r?r???t????1?r?r1?r?r22?r2Br??1?rsin???1?rsin????sin?B????sin?D???1?B??D?rsin???1rsin????0?rDr??2?0
3.3 电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函数分别为 ?1?0 ??a
2?a? ?2?A????cos? ??a
???（1） 求圆柱体内、外的电场强度；（2） 这个圆柱体是什么材料制成的？其表面有电
荷分布吗？试求之。
?解：（1）由E????，可得到
??a 时，E?????0
22???????????a?a?E??????e?A??cos??eA??cos????????????????????????? ??a 时，
22????a?a???e?A?1?2?cos??e?A?1?2?sin????????（2）该圆柱体为等位体，所以圆柱体是由导体构成制成的，其表面有电荷分布，
电荷面密度
?????s??0en?E|??a??0e??E|??a??2?0Acos?
3.6 电场中有一半径为a、介电常数为?的介电球，已知球内、外的电位函数分别为
?1??E0rcos?????0??2?0aE03cos?r2(r?a)
?2??3?0
(r?a)
??2?0E0rcos?试验证介质球表面上的边界条件，并计算介质球表面上的束缚电荷密度。
解： 由题知
???03cos?????Ercos??aE(r?a)002?1??2?r?0 ?????3?0Ercos?(r?a)20???2?0? 在介质球表面（即r=a时），
蔡张达 071244101 陈彬 071244102
3.9 有一半径为a、带电荷量q的导点球，其球心位于介电常数分别为?1和?2的两种介质分界面上，设该分界面为无限大平面。试求：（1）导体球的电容；（2）总的静电能量。 解：（1）依题意知电场沿径向分布，则由
??s??D?ds?q，得 D1S1+D2S2=q
22即 ?1E2?r+?2E2?r孤立导体球的电位为
?a=??? E?? er22?r（?1??2）qa???E?dr=?aq2?（?1??2）rdr=2q2?a(?1??2)
?球的电容为
C=
q?a=2?a(?1??2)
(2) We=
12CU2=
12?2?a（?1??2）??a
2=?a(?1??2)?
q2224?a（?1??2）4?a（?1??2）=
q2
3.11 同轴电缆的内导体半径为a，外导体半径为c；内、外导体之间填充两层有损耗介质，其介电常数分别为?1和?2，电导率分别为?1和?2，两层介质的分界面为同轴圆柱面，分界面半径为b。当外加电压U0时，试求：（1）介质中的电流密度和电场强度分布；（2）同轴电缆单位长度的电容及漏电阻。
解：（1）?电流连续，两层介质中单位长度的总电流必相等，设为I,，则由
??s??J?ds=I 得 J?2?r= I? J?I2?r?J ????er （a I2?r?1I2?r?2?er (a ? ?E1r??1= ??JE2r?= ?2?er (b ?U=?0ba?c???E1r?dr??E2r?dr?bI2??1lnba+ I2??2lncb ? I?2?U01?1lnba?1?2lncb ?U0? J??er (a 1b1c（ln?ln）r?1a?2b?? E1rU0?（1?E2r?1?1lnba?1?2U0lncb??er ）r (a ?（21?1lnba?1?2lncb??er (b 2??1ln(ba) ，C20= 2??2ln(cb)IU0 C?2??1?2?1ln(ca)??2ln(ba) G0= 1R?= 2??1?2?1ln(ba)??2ln(cb) 3.13 在一块厚度为d的导体板上，由两个半径分别为r1和r2的圆弧和夹角为?的两半径割出的一块扇形体，如图题3.13所示。试求：（1）沿导体板厚度方向的电阻；（2）两圆弧面间的电阻；（3）沿?方向的两电极间的电阻。设导体板的电导率为?。 解：（1）设沿导体板厚度方向加电压U1，则有 U1d J1=??1?? I1?J1S1?2d?U1?2d （r2?r1）r2 22? ?R1?U1I1? = ??(r?r)2221 r （2）在两圆弧面间 1 题3.13图 ?2? ?UJ2???I2?r?d I2I2r2r12?L?2dr???r2r1?r?d1dr???dln ?R2?U2I2??dlnr2r1 (3)设沿?方向的两电极间的电压为U3，则 2U3??1??E3?dl??21E3rd??E3r?d??E3r? ?E3?12U3?r ??U3?? ?J3??E3e??e? ?r?I3??r2r1??J3?dS??r2?U3?r1?U3dr?e?(d?dre?)?ln2 ?r?r1??R3?U3I3??d?lnr2r1 3.15 无限长直线电流I垂直于磁导率分别为?1和?2的两种磁介质的分界面，如图题3.15 所示，试求：（1）两磁介质中的磁感应强度B1和B2;(2)磁化电流分布。 解：由题意知，无限长指导线在其周围产生的磁场强度 ?H?I2???e? ? B1= ?1I2??e? = ?0I2??Be? B2= B1?2I2??e? = ?I2??e? （2）?M= ?0?H ? M =1?0?H?0 M2?B2?0?H?(???0)I2???0e? ?磁化电流体密度为: J m= （???0）Ie?磁化电流面密度为： Jsm=M2?e12= 2??0?Z ?2?? I O ?1??0 x 题3.15图 3.19 同轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是半径为b的薄圆柱面，其厚度可以忽略 不计。内、外导体间填充有磁导率分别为?1和?2的两种磁介质，如图题3.19所示。设同轴线中通过的电流为I，试求：（1）同轴线中单位长度所储存的磁场能量；（2）同轴线单位长度的自感。 ?1 ?2 a