???解：在外电场Eo作用下
y P??，?? a E0 o x
介质圆柱被极化，空间任意一点的电位是均匀外强的电位与极化电荷产生的电位之和。又由于介质圆柱体是均匀无限长的，而且均匀外电场与圆柱的轴线垂直，所以电位函数与变量z无关。取柱坐标计算，由于导体为一等位体，取坐标原点为电位参考点，设为Co，则均匀外电场产生的电位为
?o??E0x?C0??E0?cos??C0 （1）
极化电荷产生的电位应与?0一样，按cos?变化，且无穷远处为零，则
?1??E0?cos??A??1cos??C0 （2）
由边界条件?or?a??1r?a
?1带入（1）、（2）中有 ?E0acos??Aacos??C0?C0
?A?aE0
2?a?即圆柱外的电位为： ???,????0??1=?????E0cos??2C0
???2圆柱外的电场分布为
22??????????1??????a?a????? E??????e??e?=?1?2?E0cos?e????1?2?E0sin?e?
r?r????????圆柱表面上的感应电荷密度为： ?ps???0??????a ?2?0E0cos?3.32 如图题3.32所示，一个半径为b，无限长的薄导体圆柱面被分割成4个1圆柱面，彼
4此绝缘。其中，第二象限和第四象限的1圆柱面接地，第一象限和第三象限的1圆柱面
44
分别保持电位U0和—U0，试求圆柱面内的电位函数。
y U0 0 b x 0 -U0 0
解：依题意知，导体圆柱面的电位函数应满足的边界条件为：
????U0?????0,?2???????0,?????????2? ??b,????
??U,?????3??0???2????0,?3????2????????2设圆柱面内电位函数的通解为：
? ????An?1nncosn??Bnsinn???
n由边界条件可知 ??b????n?1?An?cosn???bBn?sinn??
?n?bAn?n1??2?0?cosn?d?=
1???20U0cosn?d??13???2??U0cosn?d?
?0?n?3 ??2U0??-1?2?n???n为偶数??n为奇数?1?
bBn?n1??2?0?sinn?d????20U0sinn?d??13??20??U0sinn?d?
?0???2U0??n???n为偶数??n为奇数?n
2U0?r? ??????sinn??n?1,3,5...n??b?????1?n?1,3,5...n?322U0?r???cosn?n??b?n?0?r?b?
?????3.34.如图题3.34所示，无限大的介质外加均匀电场E0=ezE0，在介质中有一半径为a的球
体空腔，求空腔内、外的电场强度和空腔表面的极化电荷密度。
a ?0 0 z ? E0
解：在外电场E0的作用下，导体球表面上会出现极化电荷，空腔内外的电场应为外电场与极化电荷产生的电场的叠加，因此，先求其电位分布，取球坐标计算，因为问题关于极轴对称，所以电位函数与变量?无关，且满足拉普拉斯方程 ??1=0设其通解为
?2?0?r?a?;??1=02?r?a?
?1=?AnrPn?cos??nn?0??0?r?a?
?2=??Bnr?n?0??nCn?P?cos?n?1?nr???r?a?
而空腔内外的场均按 cos?规律变化，则
?1?A1rcos? ?2??B1r??
?0?r?a?
?r?a?
?C1?cos?2?r?
（对?1还可设解为?1=-E0rcos??A1rcos?，由边条件得A1??的最后结果是相同的。） 边界条件
1） 由自然边界条件有r??,?2??E0rcos? 2） r?0,?应为有限值 3） ?1??2,?0??1?rr?a???02???0E0，与上述设解
r?ar?a????2?rr?a
即 B1rcos???E0rcos? A1acos???B1a???C1?cos? 2?a? ?0A1??B1?解得 A1??3?2???02C1a2
E0,B1??E,0C?1?0??2???0aE
30??1??3?2???0E0rcos??0?r?a?
3????0?a?? ?2???1????E0rcos?2???r???0????r?a?
???E1????1?3?2???0???E0?0?r?a?
?????0a3???e ?1?3??2???0r?????????0??2a3?E0cos?er?E0sin? E2????2??1?3?2???0r?????????0?E0?a?3?????er2cos??e?sin?? ?E0??????2???0?r?极化电荷密度为
?ps???en?P2??????0?E2??3?0????0?2???0E0cos?
r?ar?a071244133 舒明飞 071244134 尚玉黎
3.29 如图题3.29所示的导体槽.底面保持电位U0，两个侧面的电位皆为零，试求槽内的电
位分布。
y x 解 有题意可知，电位函数满足的边界条件为：O 图题3.29
?x?0??0 ①? ?x?a??0②??y?0??U0③
??y????0 所以设其通解为：
?n? ???Asin??n???ayn
n?1?ax?e?有边界条件③可得：
? U0??A??n??nsinxn?1?a? ? ?A2a?n?n?a?U0sin?x??dx?2U?4U00(1?cos(n?))??,(n为奇数)?a?n???n?0?0,（n为偶数）
n? ???4U?01?n??ay??n?1,3,5nsin?x?
?a?e?3.31 如题图3.31（a）所示，在均匀电场E??0?exE0中垂直于电场放置一根半径为a的无限长导体圆柱。求导体圆柱外的电位和电场强度，并求导体圆柱表面上的感应电荷密度。 y y ?(r,? 解 在外电场E?? 0作用下，介质圆柱被极化圆柱外空间任一点的电位是均匀外电场的电位与?a极化电荷产生的电位之和。E0 ax 又因介质圆柱体是均匀无限长的， x 而且均匀外电场与圆柱的轴线O 垂直，所以电位函数与变量ZO 无关。 如图3.31（b）所示，因为导体一等势体，设导体内电位为C（常数），则外电场E?0 图题3.31（a） 图题3.31（b） E?0