的电位为： ?0???E0x?C??E0rcos??C
极化电荷的电位应与?0一样，按cos?变化，且无限远处为0。则设 ???E0rcos??A1r?1cos??C
在处，由电位的连续性可得：
?1 ?E0acos??A1acos??C?C
?A1?aE0
2?圆柱外的电位为：
2?a???(r,?)????r?r?E0cos??C
??????1???E??????er?e??rr??22?a?1?a????????1?Ecos?e??r?Esin?e0r? 2????0rrr????22??a?a????????1?Ecos?e??1?Esin?e0r0?2?2???rr???? ????0???rr?a?2?0E0cos?
3.32 如图题3.32所示，一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成4个1/4圆柱面，
彼此绝缘。其中，第二象限和第四象限的1/4圆柱面接地，第一象限和第四象限的1/4圆柱分别保持电位U0和?U0，试求圆柱面内的电位函数。
解 由题意知，导体圆柱的边界条件为：
??U0??0? ?(b,?)????U0??0??(0???(?2 0
y )?2????)3?2)U0 (????(3?2???2?)O 0 ?U0 x
图题3.32
设圆柱面内电位的通解为：
????(Ancosn??B?)?rnnsinn
n?1有边界条件可得：
? ????(bnAnn)cosn??(bBn)sinn??
n?1bnA1n???2?0?cosn?d??1??3?
???20U0cosn?d????2?(?Ucosn?d??0)?
??n?3?22U0(n为奇数）??(?1)?n????0(n为偶数）?2U(n为奇数） bnB?0n??n?
??0(n为偶数）?2Un?n?3????0?22Un0?(r?b)
n?1,3,n??r??sinn???1)5?b??(n?1,3,5n??r??cosn??b?3.34 如图题3.34所示，无限大的介质外加均匀电场E??0?ezE0，在介质中有一半径为a的
球形空腔，求空腔内、外的电场强度和空腔表面的极化电荷密度。 O a? ?0 z a O ? E?0 3.31图题（b3.34） （b） 图题3.34 图题 解： 在所加电场E?E?应为外加电场E?0的作用下，介质球被极化，空腔内外的电场强度0和
极化电荷的电场E?p的叠加。图题3.34（b），因为外加电场沿z轴方向，所以该场与?无关，
z
且满足拉普拉斯方程
??1=0设空腔内外电位的通解为
?ns)??1??AnrPn(co? ?Cn??2??(Bnrn?)Pn(co?s)n?1r?又因空腔内外的场都是按cos?规律变化，所以 ????1?A1rcos ?C??2?(B1r?1)cos?2r?由题意可知，空腔内外电位所满足的条件为：
(0?r?a)(0?r?a)2?0?r?a?;??1=02?r?a?
(r?a)
(r?a)①r??时，?2??E0rcos? ②r?0时,?1为有限值 ③r?a时,?1??2 ??1?r??2?r ?0??
??B1rcos???E0rcos??C1???A1acos??(B1a?2)cos?
a???A??B?2C10113?a?解之得
A1??3?2???0E0 B1??E0C1?
?0??2???0?3?E0rcos???1??2????0?? 3?????0?a???2???1????E0rcos??2???r???0????
?E1????1?3?02???0?E0
3?????0a????E0cos?er??1???Esin?e0? 3???2???0r???3???0??2aE2????2???1?2????r30?空腔表面极化电荷的密度为： ?
???n?pz??(???0)E2??(???0)3?02???0E0cos?
pr?ar?a071244117 季文龙 071244118 姜媛
4.2再无损耗的线性、各向同性媒质种，电场强度E(r)的波动方程为 ▽E(r)+ ?2??E(r)=0
已知矢量函数E(r)=E。e-jk.r，其中E。和K是常矢量。试证明E(r)满足波动方程的条件
22是?=???,这里 k=|k|。
证明：因为E(r)=E。e-jk.r
2所以▽2E(r)=-- ?E。e-jk.r
要使 E(r)满足波动方程：
2 ▽E(r)+ ???E(r)=0
22即-?E。e-jk.r+???E。e-jk.r=0 22则?=???.
证毕
4.5证明：在有电荷密度?和电流密度J的均匀无损耗媒质中，电场强度E和磁场强度H的波动方程为
?????2???t22???J?t??(??),?H???2?H?t22????J
证明 在有电荷密度?和电流密度J的均匀无损耗媒质中，麦克斯韦方程组为：
??H?J?????t ①
???????H?t ②
??H?O ③
?????? ④
对②两边取旋度，即
??????J?? ??(???)??? ??H???J????????2???t?t??t??t?t?2 又???(???)???(???)??2???(??)???
2 ?(??2)?????????t222?J?t??????t22
即 ???????(??)??2?J?t
同理可得?H???2?H?t2????J
4.6 在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用所谓的库仑规范，令??A??，试导出A和?所满足的微分方程。
解 将电磁矢量位A的关系式 和电磁标量位?的关系式
B???A E??????A?t ?D?t
代入麦克斯韦第一方程
??H?J?得
??H?1???(??A)?J?????A????????t??t?2?E?t?J??利用矢量恒等式 得
????A??(??A)??A ?(??A???A=?J???2
??t(?????A?t) （1）
又由 得
??D?? ??E???(?????A?t)???
即
???2??t(??A)???? （2）