???N(t)(s)??(s?1)?N(t)(s)??t???N(0)(s)?1???N(t)(s)?e?(s?1)t
（2）由于?N(t)(s)是随机过程N(t)的母函数，且?N(t)(s)?e?(s?1)t，将函数e?(s?1)t关于s(s?1)展开成级数形式，我们可得：
??N(t)(s)?e?(s?1)t??k?0(?t)k!k?e??t?s
k由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：
P{N(t)?k}?(?t)k!k?e??t,k?0,1,2?
P230/8. 解：由特征函数的定义，我们有：
?X(t)(u)?Ee??iuX(t)?iuX(t)??P{N(t)?n}?E?en?0?N(t)?n?
???n?0?(?t)n!(?t)n!n?en??t?Ee?iu?Y1?Y2??Yn???n?0?e??t?Ee??iuY1??n令E?eiuY???Y(u)，则有：
11??X(t)(u)??n?0(?t?Y1(u))n!n?e??t?exp?t?Y1(u)?1 （*）
????
若Yn(n?1,2,?)的概率分布为：
P{Yn?1}??1?1??2,P{Yn??1}??2?1??2
则
?Y(u)?E?eniuYn???1?1??2?eiu??2?1??2?e?iu （**）
将（**）代入（*），我们有：
???1???2iu?iu?X(t)(u)?exp?(?1??2)t??e??e?1???1??2??1??2?? ??exp?1te?iu??2te?iu?(?1??2)t?
P230/7. 解：先求{N0(t),t?0}的特征函数：
?N0(t)(u)?Ee??E?e?iuN0(t)iuN1(t)n??E?e??E?e?e??1tiu(N1(t)?N2(t))?mi(?u)N2(t)????n?0?(?1t)n!?e??1tiun??m?0?(?2t)m!?e)m??2t?ei(?u)m??n?0(?1te)n!iuiuiun?e??m?0(?2tei(?u)
?e??2t??2tm!i(?u)??exp??Poission过程。
P231/10. 解：由于
?exp?1tete1??e??1t?exp?2te?iu???2te?(?1??2??e)t?由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知{N0(t),t?0}是复合
P?X1(t)?k,X2(t)?jX1(t)?X2(t)?X3(t)?n???P?X1(t)?k,X2(t)?j,X1(t)?X2(t)?X3(t)?n?
P?X1(t)?X2(t)?X3(t)?n?因为Xi(t)的母函数为：
?N(t)(s)?exp??i(s?1)t?，
由独立性，可知X1(t)?X2(t)?X3(t)的母函数为：
3?X(t)(s)???i?1X(t)(s)?exp???1??2??3??s?1?t?，
所以X(t)?X1(t)?X2(t)?X3(t)是参数为?1??2??3的泊松过程，即
P?X1(t)?X2(t)?X3(t)?n?????1??2??3?t?nn!e???1??2??3?t
因此我们有：
P?X1(t)?k,X2(t)?jX1(t)?X2(t)?X3(t)?n????1t?k?k!e??1t???1t?jj!2e??2t?e??1t?n?j?k(n?j?k)!???1??2??3e??3t???1??n!??3?t?kj
n?tn!??nk!j!(n?k?j)!(?1??2??3)?1?2?3n?k?j
P231/12. 解：（1）由
P?X(t??t)?k???P{X(t)?k,X(?t)?0}?P{X(t)?k?1,X(?t)?1}?? ?P{X(t)?k}?1??Pr?t??P{X(t)?k?1}?Pr?t?o(?t)令?t?0，有
dPk(t)dt??PrPk(t)??PrPk?1(t)
解得
P?X(t)?k??(?Prt)k!ke??Prt
（2）由（1）知，X(t)服从参数为?Pr的泊松分布。
P232/15. 解：（1）以?(t)表示t时刻系统中不正常工作的信道数，则{?(t),t?0}是一马氏过程，其状态空间为：S?{0,1,2}，Q矩阵为：
??2??Q????0?2??(???)2????? ?2???0（2）令：
?p00(t)?P(t)??p10(t)?p(t)?20p01(t)p11(t)p21(t)p02(t)??p12(t)? p22(t)??则前进方程为：
?dP(t)?P(t)Q? dt??P(0)?I3?3?（3）令：
pj(t)?P{?(t)?j}
??p(t)?(p0(t),p1(t),p2(t)),p(0)?(1,0,0)
写出福克－普朗克方程：
???dp(t)?p(t)Q? ?dt???p(0)?(1,0,0)即有：
?dp0(t)??2?p0(t)??p1(t)?dt?dp1(t)??2?p0(t)?(???)p1(t)?2?p2(t)??dt?dp2(t)??p1(t)?2?p2(t)??dt??p0(0)?1,p1(0)?0,p2(0)?0
做Laplace变换，令：
?n(s)?L(pn(t)),n?0,1,2
则有：
?s?0(s)?1??2??0(s)???1(s)??s?1(s)?2??0(s)?(???)?1(s)?2??2(s) ?s?(s)???(s)?2??(s)12?2由上解得：
?0(s)?s?(3???)s?2?22s[s?2(???)][s?(???)]?As?Bs?2(???)?Cs?(???)
其中：
A??22(???),B??22(???),C?2??(???)2
因此求
p0(t)?L(?0(s))?1
即可。
（4）P{TA?t,TB?t}?P{TA?t}P{TB?t}?e??te??t?e?2?t
P233/16. 解：（1）令?(t)表示t时刻系统中正在用电的焊工数，则{?(t),t?0}是一马氏过程，其状态空间为：S?{0,1,2,?,m}。 （2）Q矩阵为：
????Q??????m?m??[??(m?1)?]2??00(m?1)??[2??(m?2)?]?000(m?2)??0????m???0?0? ?????m??0?0?0（3）令：
pj(t)?P{?(t)?j}
??p(t)?(p0(t),p1(t),p2(t),?,pm(t)),p(0)?(1,0,0,?,0)
写出福克－普朗克方程：
???dp(t)?p(t)Q???dt?p(0)?(1,0,0,?,0)1?(m?1)?
（4）画出状态转移率图，可得t??时的平衡方程：
?m?p0??p1?[(m?1)???]p1?m?p0?2?p2?????[(m?n)??n?]pn?(m?n?1)?pn?1?(n?1)?pn?1 ?????p?m?pm?mm?1??pn?1??n?0由此可得：
(m?n)?pn?(n?1)?pn?1?(m?n?1)?pn?1?n?pn???m?p0??p1?0
即有：
(m?n)?pn?(n?1)?pn?1?0
pn?1?(m?n)???pn,(n?1)?n?0,1,2,?,m
由此可以求得：
(m?n?1)(m?n)mpn?????nn?11m???n?????????p?C0m????p0,??????nnn?0,1,?,m
由 ?pn?1，即可确定p0，最终得到所要的结果。
n?0
P233/17. 解：（1）由于：?n?n??a,可以得到此过程的Q矩阵：
??a????0Q???????a?(??a??)2??n?0002??a?n??a??000??????????????n?n?(?,?,a?0)
??a?(2??a?2?)??[n(???)?a]?
令：