P563/7. 解：由 的密度函数，我们有： 因此有：
计算，得：
因此 是独立的随机变量。由于变换的雅克比行列式为密度为：
，因此变换后的分布
由归一化条件可以确定
。
P562/6. 解：由特征函数的定义，可知三维正态随机向量的特征函数为：
令：
则有：（1）
计算得：
因此有：
（2）
计算得：
对于ti次数大于1的那些项，当ti?0时，都会变成0，统一记作A(t1,t2,t3)，有：
对于含有ti的那些项，当ti?0时，都会变成0，统一记作
，则有：
利用Φ(0,0,0)=1，可得：
（3）先求得：
则有：
P563/8. 解：求边缘分布密度，由于：
即 服从正态分布，同理布密度为：
也服从正态分布。注意到：我们可以求得随机变量
的分
由全概率公式，我们有：
因此，当
时，我们有：
即：
显然，上式第一项表示的是正态分布的项，而第二项是非零的，因此 和 的线性组合
不是一维正态分布，由书中P472的定理一，我们可知
P564/11. 解：（1）根据维纳－辛钦定理，我们有：
则有
不是二维正态分布。
故
令：
则有：
因此有：(
的联合概率密度为：
两两不相关，由于
是高斯过程，因此它们是独立的。
（2）由于
故有：
P568/18. 解：我们知道，平稳奥斯坦－乌伦贝克过程
由公式（见P466例）：
我们有：
即有：
下面计算：
是正态过程，且有：
当
时，有：
由于此时当T??时，有???，因此：
当
时，我们有：
因此有：
同理可以讨论当 和 的情形，同样有 。由相关函数各态历经性定理可知，平稳奥斯坦－乌伦贝克过程具有相关函数各态历经性。
P569/23. 解：随机微分方程的解为：
P569/24. 解：将微分方程化成标准形式，有：
利用上题的结果，有：
由于X0为常数，因此我们有：
由于X(t)是正态分布，因此可以写出其一维分布密度为：