pj(t)?P{?(t)?j}
?p(t)?(p0(t),p1(t),p2(t),?,pn(t),?)
写出福克－普朗克方程：
?d???d??d????d?????p0(t)dtp1(t)dtp2(t)dt?pn(t)dt?pj(0)?0(j?n0)。
??ap0(t)??p1(t)?ap0(t)?[(???)?a]p1(t)?2?p2(t)?(??a)p1(t)?[2(???)?a]p2(t)?3?p3(t)
?[(n?1)??a]pn?1(t)?[n(???)?a]pn(t)??(n?1)?pn?1(t)初始条件：pn(0)?1,0（2）由数学期望的定义：
??nE{?(t)}??M?(t)??npn?0(t)??npn(t)
n?1由此，我们有：
dM?(t)dt??ddt???n?1npn(t)??n?1ndpn(t)dt????n?[(n?1)??a]pn?1??n?1n?1(t)?[n(???)?a]pn(t)?(n?1)?pn?1(t)??napn?1?(t)??napn(t)?n?1
n?1???n?(n?1)?pn?1?nn?1?(t)?n(???)pn(t)?(n?1)?pn?1(t)???apn?0(t)??n?(n?1)?pn?1(t)?n(???)pn(t)?(n?1)?pn?1(t)??a?(???)?npn(t)?a?(???)M?(t)n?1即可得到描写M?(t)的微分方程：
?dM?(t)?a?(???)M?(t)? ?dt?M?(0)?n0?（3）解上面的微分方程，我们有：
M?(t)?n0e(???)t?a????1?e(???)t?
P233/19. 解（1）根据题意得到Q矩阵为
???????0Q????????????(???)2????000??????(2???)?n?????(n???)???0??0?0?? ????????由福克－普朗克方程得：
?dp0(t)???p0(t)??p1(t)?dt ?dpn(t)???pn?1(t)?(??n?)pn(t)?(n?1)?pn?1(t)(n?1)?dt（2）
?G(u,t)?t???n?0?(t)u???p0(t)?pn?n??p1(t)????n?1n?1n[?pn?1(t)?(??n?)pn(t)?(n?1)?pn?1(t)]?
??n???n?0pn(t)u??(??n?)pn(t)u?n?0?n?pn?0n(t)un?1而
?(u?1)?G(u,t)?u???(u?1)?npn(t)un?0n?1
因此
??n?1左边=??pn(t)un?0???pn?0n(t)u?n
?nn?1?右边=?(u?1)G(u,t)??(u?1)?pn(t)u???pn(t)un?0n?0???pn(t)un?0n
左边=右边，证毕。
?（3）将G(u,t)?e?uf[e??t(u?1)]代入左边。
??u??t??t?f?[e(u?1)]?(u?1)?(??)?e左边?e??(u?1)?(?u????e?u??f[e??t(u?1)]?f?[e??t(u?1)]?e?u)
?(u?1)???e??f[e??t(u?1)]??(u?1)G(u,t)?右边（4）由G(u,0)?1，有
?e?uf(u?1)?1
即
???uf(u?1)?e
进而有
???(u?1)f(u)?e
所以
?G(u,t)?e?u?f(e??t(u?1))?e?(u?1)(1?e??t)
（5）令
??(1?e??t)?x，由(4)的结论
x(u?1)2!22G(u,t)?ex(u?1)?1?x(u?1)????x(u?1)n!nn??
其中un对应的系数为
xnn!??C?1n?xn?1(n?1)!?C??2nxn?2(n?2)!???xnn!e?x
所以
???(1?e??t)pn(t)?e?1???tn?)]? ?[(1?e?n!??（6）
??M?(t)??n?1?npn(t)?(1?e??t?n?1???(1?e??t)ne1?1???tn?[(1?e)]???n!????t??)??e??(n?1)!n?1[??(1?e?)]n??(1?e??t)?e??(1?e??t????)(1?e??t)??n?01???tn[(1?e)]n!?(1?e??t
??)??e????t(1?e??t)?e?)??(1?e（7）由(5)的结论，知
???(1?e??t)???limp0(t)?limet??t???e
P236/24解：
(1) 根据题意得Q矩阵
???????Q???????????(????)???000??(????)?00?????????????0??0??? ?0????由平衡方程，有
???p0???p1?0??p0?(????)p1???p2?0?? ????p?(????)pn???pn?1?0n?1????因此有 因为
pi?1pi??，进而 pn?????????????p0?n(n?0,1,2,?)
??n?0??pn?1?p0???n?0????????1 ?n所以，当
????1 时系统平稳。
n????????pn??1???????????????(n?0,1,2,?)
(2) WQ??n?0n?pn???1?npn?1n?0???????
n?1(3) 前(n?1)次以概率1??重新排队，第n次以概率?离开，所以?1???(4) T? 26．解
(1) 设系统状态为不工作机器的数量，则S??0,1,2,3?，得Q矩阵
??3????Q??0??03??(??2?)2?002??(2???)3?0??0? ????3????即为所求。
???1???n?0?nn?1????n?1?????n?0?n?1?1??
列出平衡方程
??3?p0??p1?0??3?p0?(2???)p1?2?p2?0 ??2?p1?(??2?)p2?3?p3?0??p2?3?p3?0?其中：??解得
110??18
p0?125729,p1?300729,p2?240729,p3?64729
所以
3M?(t)?240729647292432729?n?0npn?972729
(2) T?8(p2?p3)?8(
?)?
P237/28. 解：（1）设泊松分布第n?1个事件发生与第n个事件发生的时间间隔Xn的特征函数为：?X(u)，则有：
n?Xn(u)?exp{?(eniu?1)}
由于{Xn}是独立同分布的，根据 Sn??Sn(u)???X 以及特征函数的性质可知：
kk?1?(u)Xn?n?exp{?(e?iu?1)}?n?exp{n?(eiu?1)}
因此可知Sn是服从参数为n?的泊松分布，即：
P{Sn?k}?(n?)k!ke?n?,k?0,1,2,?
（2）由：P{N(t)?n)}?P{Sn?t}?P{Sn?1?t}可知：
[t]P{N(t)?n}??k?0(n?)k!k[t]e?n???k?0[(n?1)?]k!ke?(n?1)?
附：一阶拟线性（线性）偏微分方程的解法：
一阶拟线性方程的一般形式：
a(x,y,u)ux?b(x,y,u)uy?c(x,y,u)
一阶线性方程的一般形式：
a(x,y)ux?b(x,y)uy?c(x,y)u?d(x,y)