称：
dxa(x,y,z)?dyb(x,y,z)?dzc(x,y,z)
或：
dxdt?a(x,y,z),dydt?b(x,y,z),dzdt?c(x,y,z)
为一阶拟线性方程的特征方程。由此方程确定的曲线(x(t),y(t),z(t))为特征曲线。一阶拟线性方程的特征方程的解u(x,y)为积分曲面。
有以下定理：
定理：若特征曲线?上一点P0(x0,y0,z0)位于积分曲面S:u?u(x,y)上，则?整个位于S上。
初值问题：
给定初始曲线：?:(x,y,z)?(f(s),g(s),h(s))，s为参数。则一阶拟线性方程的初值问题的提法是：求方程的解z?u(x,y)，使满足h(s)?u(f(s),g(s))。我们有以下定理。
定理：设曲线?:(x,y,z)?(f(s),g(s),h(s))光滑，且f?2?g?2?0，在点
P0?(x0,y0,z0)?(f(s0),g(s0),h(s0))处行列式
J?f?(s0)a(x0,y0,z0)g?(s0)b(x0,y0,z0)?0
又设a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)在?附近光滑，则初始问题：
?a(x,y,u)ux?b(x,y,u)uy?c(x,y,u) ?u(f(s),g(s))?h(s)?在参数s?s0的一邻域内存在唯一解。
例：已知初始曲线?:x?s,y?s,z?s2,0?s?1，求初值问题：
?uux?uy?1 ?u??s/2?解：由于：
J?f?(s0)a(x0,y0,z0)g?(s0)b(x0,y0,z0)?1s/211?1?s/2?0
解常微分方程的初值问题：
dydz?dx?z,?1,?1? dtdt?dt??(x,y,z)t?0?(s,,s,s/2)得：
z?t?s/2,y?t?s,z?t/2?st/2?s
2由后两式解出s,t，并代入第一式，解得：
z?u(x,y)?4y?2x?y2(2?y)2
P233/9. 解初值问题：
??(u?1)Gu?Gt??(u?1)G ?(u,t,z)?(s,0,1)??0?由于：
J?f?(s0)a(x0,y0,z0)g?(s0)b(x0,y0,z0)?101?1?0
?(s?1)解常微分方程的初值问题：
dtdz?du??(u?1),?1,??(u?1)z? d?d?d????(x,y,z)t?0?(s,,0,1)解得：
??t????? ?u?e(s?1)?1??(s?1)???(1?s)lnz?e?????在上面式子中消去参数s,?，得初值问题的解：
G(u,t)?exp{??(u?1)(1?e??t)}
P31
解：（1）给定 t2?t1,k2?k1时，有
（2）任取t1,t2?0,我们有：
所以Poission过程不是平稳过程。
P311/2. 解：（1）由Poission过程的性质，任取t2,t1,t2?t1假定事件：
则有：
，
因此有：
（2）由
，且f?(x1,x2;t1,t2)仅与t2?t1有关，可知
是平稳过程。
P312/3. 解：（1）由均值的定义，我们有：
（2）由相关函数的定义，任取
，我们可得：
P312/4. 解：为了解此题，先看下面的引理： 引理：设
是服从正态分布的二维随机变量，其概率密度为：
则 和Y取不同符号的概率为：
引理的证明：
令：
则有：
以上式子用了变换：
由：
因此只要求：
因此有：
由于此时：
我们即可得到结论。
P313/5. 证明：由于：
故
是宽平稳过程。 分别取t1?0,t2??/4,，则
，?(t2)?zsin(???/4)，因为
具
有不同分布，所以?(t)不满足一级严平稳条件。
P314/10. 解：样本函数不连续。令：t2?t1?0，下面求相关函数：
因为：
因此该过程是均方连续的随机过程。
P314/11. 证明：令：
，则有
由车比雪夫不等式：
P315/13. 证明：（1）令： ，由上题的结果可知：
因此有
（2）由相关函数的定义及（1）的结果，有
P316/17. 解：（1）由均值函数和相关函数的定义，我们有：
由
，可得
2）有上面的结果知
是一宽平稳过程。令： ，
，
，
不具有相同的分布，所以 不是一级严平稳过程。
（ ，