第三章 线性方程组
§1基本知识
§1. 1 基本概念
m个方程n个变元构成的线性方程组的一般形式是
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ? （3.1）
????am1x1?am2x2???amnxn?bm当b1,b2,?,bm不全为零时，（3.1）称为非齐次线性方程组，而
?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn ? （3.2）
????am1x1?am2x2???amnxn?0称为与非齐次线性方程组（3.1）对应的齐次线性方程组，也称为（3.1）的导出组.
?a11?a21若记 A??????am1__
a12a22?am2?a1n??a11?a__?a2n??,A??21???????amn??am1a12a22??a1n?a2n?am2?amnb1?b2?? ???bm?A,A分别称为（3.1）的系数矩阵与增广矩阵，此时（3.1）与（3.2）可改写为矩阵形
式
AX?b （3.3） AX?0 （3.4） 其中X?(x1,x2,?,xn)T,b?(b1,b2,?,bm)T.
若记?i?(a1i,a2i,?,ami)T,i?1,2,?,n，即?1,?2,?,?n是A的列向量组，则（3.1）与（3.2）可改写为向量形式
x1?1?x2?2???xn?n?b （3.5） x1?1?x2?2???xn?n?0 （3.6） （3.5）与（3.6）称为线性方程组的向量形式。
1、向量：数域P中n个数a1,a2,?,an组成的有序组(a1,a2,?,an)，称为数域P中的一
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个n维向量。其中ai称为第i个分量。
2、向量的相等：向量??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn)称为相等，记为???，
如果ai?bi,i?1,2,?n。
3、向量的加法：向量(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)称为向量??(a1,a2,?,an)与
??(b1,b2,?,bn)的和，记为???。
4、数乘向量：数域P中的一个数k与数域P中的一个n维向量??(a1,a2,?,an)的数量
积指的是，(ka1,ka2,?,kan)，记为k?。
5、向量的减法：向量(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)称为向量??(a1,a2,?,an)与
??(b1,b2,?,bn)的差，记为???。
6、零向量：分量全部为零的向量。
7、负向量：(?a1,?a2,?,?an)称为??(a1,a2,?,an)的负向量，记为??。 8、n维向量空间：
9、向量组的线性组合与线性表示： 10、向量的线性相关与无关： 11、向量组的等价：
12、向量组的极大无关组： 13、向量组的秩
14、矩阵的初等变换： 15、阶梯型矩阵：
16、线性方程组的初等变换： 17、线性方程组的同解（或等价）： 18、齐次线性方程组的基础解系： 19、矩阵的行秩（列秩）：矩阵的行（列）向量组的秩，称为矩阵的行（列）秩. 20、矩阵的秩：矩阵的行秩（列秩）称为矩阵的秩.
21、矩阵的等价（行等价与列等价）：两个矩阵A,B称为等价的，如果A可以通过初
等变换化为B，两个矩阵A,B称为行等价的，如果A可以通过行初等变换化为B，两个矩阵A,B称为列等价的，如果A可以通过列初等变换化为B.
§1. 2 基本定理
1、线性方程组的初等变换的性质定理：线性方程组的初等变换把线性方程组变
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成同解的线性方程组。
2、若齐次线性方程组（3.4）的方程个数小于变元的个数，那么（3.4）有非零解。 3、替换定理：设向量组（I）?1,?2,?,?r可以由向量组（II）?1,?2,?,?s线性表示，如果（I）线性无关，那么：r?s，并且适当调整（II）中向量的顺序，用（I）中向量替换（II）中的前面r个向量所得的向量组（III）?1,?,?rs,?r?1,?,?s与向量组（II）等价。
或者等价地，设向量组（I）?1,?2,?,?r可以由向量组（II）?1,?2,?,?s线性表示，如果r?s，那么：（I）线性相关。
4、线性表示的传递定理：如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表示，向量组（II）可以由向量组（III）线性表示，那么（I）可以由（III）线性表示。 5、线性相关与无关的判定定理：向量组?1,?2,?,?r(r?1)线性相关，当且仅当其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。 ．．．．
6、向量组的秩的判定定理：向量组?1,?2,?,?r的秩等于向量的个数r??1,?2,?,?r线性无关。或者等价的说：向量组?1,?2,?,?r的秩小于向量的个数r??1,?2,?,?r线性相关。
7、矩阵秩的判定定理：一个矩阵的秩等于r的充分必要条件是，有一个r阶的子式不等于零，所有的r?1阶子式（如果存在的话）都等于零。
8、线性方程组有解的判定定理：线性方程组（3.3）有解?R(A)?R(A)。 9、线性方程组解的个数定理：如果线性方程组（3.3）有解，那么 （1）R(A)?R(A)?n，（3.3）有唯一解； （2）R(A)?R(A)?r?n ，（3.3）有无穷多组解。
10、齐次线性方程组有非零解的判定定理：齐次线性方程组（3.4）有非零解的充分必要条件是，R(A)?n。
11、齐次线性方程组解的结构定理：如果齐次线性方程组（3.4）有非零解，那么它的基础解系存在，且基础解系中含有n?r个解向量，这里r?R(A)，设
______?1,?2,?,?n?r是（3.4）的一个基础解系，则：
k1?1?k2?2,?,kn?r?n?r是（3.4）的全部解（所有解或通解）。
12、线性方程组解的结构定理：如果线性方程组（3.3）有解，?是它的一个特
(k1,k2,?,kn?r为任意常数） 35
解，?1,?2,?,?n?r是它的导出组（3.4）的一个基础解系，则：
??k1?1?k2?2,?,kn?r?n?r (k1,k2,?,kn?r为任意常数）是（3.3）的全部解（所有解或通解）。
§1. 3 基本性质
1、线性相关与无关的性质：
（1）如果一个向量组线性无关，则它的任何部分组线性无关；或等价地说，如果一个向量
组的某个部分组线性相关，则这个向量组线性相关；
（2）n维列向量组?1,?2,?,?n线性相关?(?1,?2,?,?n)?0；或者等价地说，
?1,?2,?,?n线性无关?(?1,?2,?,?n)?0；
（3）如果一个向量组?1,?2,?,?r线性无关，添加一个向量?后，?1,?2,?,?r,?线性相关，则?可由?1,?2,?,?r唯一地线性表示；
（4）单独一个向量?线性相关???0；或着等价地说：?线性无关???0； （5）两个同维向量线性相关的充分必要条件是，它们的分量对应成比例；
（6）如果一个m维向量组线性无关，那么增添t个分量所得到的m?t维向量组也线性无关；
（7）向量个数多于向量维数的向量组一定线性相关；
2、向量组等价的性质：
（1）自反性：任何向量组自身和自身等价；
（2）对称性：如果向量组（I）?1,?2,?,?r和向量组（II）?1,?2,?,?s等价，那
么向量组（II）和（I）等价；
（3）传递性：如果向量组（I）?1,?2,?,?r和向量组（II）?1,?2,?,?s等价，而
向量组（II）又和向量组（III）?1,?2,?,?t等价，那么向量组（I）和（III）等价；
（4）等价的向量组的极大无关向量组也等价；
（5）一个向量组和它的任何一个极大无关向量组等价； （6）等价的线性无关向量组含有相同个数的向量。 3、极大线性无关组的性质：
（1）一个向量组的极大无关组含有相同个数的向量； （2）线性无关向量组的极大无关组是它本身； 4、秩的性质
（1）等价的向量组的秩相等；
（2）一个矩阵的行秩等于它的列秩； 5、线性方程组解的性质
（1）齐次线性方程组（3.2）的任意多个解的线性组合还是（3.2）的解； （2）线性方程组（3.1）的任意两个解的差是它的导出组（3.2）的解；
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（3）（3.1）的一个解与它的导出组的一个解的和是（3.1）的一个解；
§1. 4 基本运算
1、化矩阵为阶梯型矩阵的初等变换法； 2、齐次线性方程组的基础解系与通解的计算
计算步骤
(1) 求出系数矩阵A；
(2) 利用行初等变换将A化为如下形式的阶梯形矩阵
?1?0?????0?0????0?0?0c1r?11?0c2r?1???0?1crr?10?00???00?0c1r?2c2r?2?crr?20?0?c1n??c2n??????crn? （3.7） ?0?????0??(3) 下结论：?1?(?c1r?1,?c2r?1,?,?crr?1,1,0,?,0)，
?2?(?c1r?2,?c2r?2,?,?cr,r?2,0,1,?,0)，?n?r?(?c1n,?c2n,?,?crn,0,0,?,1)
为（3.4）的基础解系，（3.4）的通解为：
X?k1?1?k2?2???kn?r?n?r （k1,?,kn?r为任意常数）
说明 有时需要交换两列的位置才能将A化为（3.7）的形式，此时要留意变元的排序，以
便正确选择自由变元，但不将A化为（3.7）也能求出基础解系（参见例3.1）. 例3.1（04，9分）设有齐次线性方程组
?(1?a)x1?x2???xn?0?2x?(2?a)x???2x?0?12n?????nx1?nx2???(n?a)xn?0试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。
(n?2)
分析 该方程组有非零解的充要条件是系数行列式D?A?0，所以本题只需首先计算出
D?A，令D?0，求出对应的a，再对求出的a按本节的解题步骤求出基础解系与通解
即可。
1?a1?122?a?2n(n?1)n(n?1)解 D?A?时，?an?1[a?],故 a?0或a??2???2nn?n?a
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