齐次线性方程组有非零解。
当a?0时，原齐次线性方程组的系数矩阵
?11?1??22?2?经过行初等变换?A??????????nn?n??1?0?????01?1?0?0?? ????0?0?因此：(?1,1,0,?,0,0)T,(?1,0,1,?,0,0)T,?,(?1,0,0,?,0,1)T为题设方程的基础解系，故：
X?(?(k1?k2???kn?1),k1,k2,?,kn?1)T (k1,k2,?,kn?1为任意常数)
为所求通解.
当a??n(n?1)时，原齐次线性方程组的系数矩阵 211?1??1?a??2?2???32?a2?2???A??333?a?3?经过行初等变换?????????????n??nn?n?a??n??010?0?01?0??????
?00?1?00?0??因此：(1,2,3,?,n)T是原齐次线性方程组的基础解系，故：
X?(k,2k,3k,?,nk)T (k为任意常数)
为所求通解.
说明 依次将第1列与第2列，第2列与第3列，?，第n?1列与第n列交换便能将A化为（3.7）的形式，只不过要记住变量的顺序将为x2,x3,?,xn,x1，以x1为自由变量便可求出基础解系，但不作这样的变换我们仍可以x1为自由变量求出基础解系。
3、求线性方程组的通解
求线性方程组（3.3）的通解的步骤
（1） 求出增广矩阵A?(Ab)，其中A为系数矩阵； （2） 利用行初等变换将A化为如下形式的阶梯型矩阵
____ 38
?1?0?????0?0????0?（3）下结论：
0?0c1r?1?c1n1?0c2r?1?c2n????0?1crr?1?crn0?00?0???0??00?0d1?d2?????dr? （3.8） dr?1????0??① 如果dr?1?0，则原方程组无解；
② 如果dr?1?0，则当r?n时，原方程有惟一解(d1,d2,?,dn)T；
当r?n时，利用（3.8）的前n列（即系数矩阵A经过行初等变换所得）按本节的方法 求出（3.4）的基础解系?1,?2,?,?n?r，令xr?1???xn?0便得（3.3）的一个特解
(d1,d2,?,dr,0,?,0)T，故：
(d1,d2,?,dr,0,?,0)T?k1?1?k2?2???kn?r?n?r （k1,?,kn?r为任意常数）
为所求方程组的通解。
说明 有时需要进行交换两列的变换（只能对前n列进行交换，最后一列即第n?1列不容许交换）才能将增广矩阵A化为（3.8）的形式，此时要留意变元的排序.
例3.2（90，8分）已知线性方程组
__?x1?x2?x3?x4?x5?a?3x?2x?x?x?3x?0?12345 ??x2?2x3?2x4?6x5?b??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?2（1）a,b为何值时，方程组有解？
（2）方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；
（3）方程组有解时，求出方程组的全部解。 解 线性方程组的增广矩阵
?1?3__A?(Ab)???0??512141123111?3263?1a??1?00????b??0??2??0__0?1?1?5?2a?12263a?? 0000b?3a??00002?2a?（1）当a?1,b?3a?3时，r(A)?r(A)?2，线性方程组有解。
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（2）当a?1,b?3时，最后的行阶梯型矩阵为
?1?0??0??00?1?1?5?2?12263?? 00000??00000?由前5列可知，方程组的导出组的基础解系为：
(1,?2,1,0,0)T,(1,?2,0,1,0)T,(5,?6,0,0,1)T
（3）取x3?x4?x5?0可得x1??2,x2?3，因此(?2,3,0,0,0)T为方程组的一个特解，故所求方程组的通解为：
(?2,3,0,0,0)T?k1(1,?2,1,0,0)T?k2(1,?2,0,1,0)T?k3(5,?6,0,0,1)T
其中k1,k2,k3为任意常数。
§2 基本题型及其常用解题方法
§2. 1 线性方程组有解与无解的判定
1、利用线性方程组有解的充要条件
如果两个矩阵A,B满足AB?0，则我们有如下一些结论
（1）、B的每一个列向量都是以A为系数矩阵的齐次线性方程组（3.2）或（3.4）的解向量.若B?0，则A的列向量组线性相关；
(2)、A的每一个行向量都是以B为系数矩阵的齐次线性方程组（3.2）或（3.4）的
TTTT解向量（由AB?0得BA?0）.若A?0，则：B的列向量组也是B的行向量组线性
相关；
(3)、因为Ax?0的基础解系恰有n?r(A)个线性无关的解向量，所以：
r(B)?n?r(A)，即：r(A)?r(B)?n.
讨论线性方程组（3.1）有解与无解的步骤
(1)、求出（3.1）的增广矩阵A?(Ab)，A为系数矩阵； (2)、对A进行行初等变换化为行阶梯型矩阵； (3)、利用行阶梯型矩阵求出A与A的秩，下结论.
______ 40
讨论线性方程组（3.2）是否存在非零解的步骤 (1)、求出（3.2）的系数矩阵A；
(2)、对A进行行初等变换化为行阶梯型矩阵； (3)、利用行阶梯型矩阵求出A的秩，下结论. 例3.3（90，3分）若线性方程组
?x1?x2??a1?x?x?a?232 ?x?x??a43?3??x4?x1?a4有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条件 本题应填a1?a2?a3?a4?0； 解 方程组的增广矩阵
?1?0__A?(Ab)???0??1100?a1??1?经过行初等变换0110a2????0011?a3???001a4??1__100??110a2? ?011?a3?000a1?a2?a3?a4??a1当a1?a2?a3?a4?0时，r(A)?3?r(A)?4，线性方程组无解； 当a1?a2?a3?a4?0时，r(A)?r(A)?3，线性方程组有无穷多组解.
2、利用克拉默法则
注意：齐次线性方程组（3.4）有非零解时，也意味着（3.4）有无穷多组解，反之亦然. 利用该方法讨论线性方程组的解的情况时，通常题目中含有参数，此时解题步骤是： （1）、求出系数行列式D； （2）、由D?0求出的参数便是线性方程组有惟一解的参数； （3）、令D?0，解出参数的值再代入原方程组中利用方法1的解题步骤讨论. 例3.4设有线性方程组
__?(k?3)x1?x2?2x3?k? ?kx1?(k?1)x2?x3?k?3(k?1)x?kx?(k?3)x?3123?试讨论其中k的取值范围与其解之间的关系.
k?3解 D?12kk?11?k2(k?1)
3(k?1)kk?3当k?0且k?1时，D?0，此时线性方程组有惟一解；
当k?0时，方程组的增广矩阵
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__?3120??1011?经过行初等变换??01?10?
A??0?110???????3033???0000??r(A)?2?r(A)?3，线性方程组无解；
当k?1时，方程组的增广矩阵
____1??4121??101经过行初等变换??01?2?3?
A??1011??????0??6143???000?r(A)?r(A)?2，线性方程组有无穷多组解.
现在我们介绍两个线性方程组同解的概念及常见的性质.
我们称两个线性方程组Ax?b1与Bx?b2（此时两个方程的变元个数必须相同）同解，如果它们都无解或都有解，且有解时它们具有完全相同的解.
性质3.1 （1）如果Ax?b1与Bx?b2同解且它们都有解，则r(A)?r(B)；特别Ax?0与Bx?0同解，则r(A)?r(B)；
（2）齐次线性方程组Am?nx?0与Bt?nx?0同解的充分必要条件是：r(A)?r(B)?n（此时它们均仅有零解）或r(A)?r(B)?n且Am?nx?0的一个基础解系中的解向量一定是
__Bt?nx?0的解向量，因而也是Bt?nx?0的一个基础解系；
例3.5（05，13分）已知齐次线性方程组
?x1?2x2?3x3?0?x1?bx2?cx3?0?(I)?2x1?3x2?5x3?0 (II) ? 2?2x1?bx2?(c?1)x3?0?x?x?ax?023?1同解，求a,b,c的值.
?123??1b??分析 (I)的系数矩阵为A?235，(II)的系数矩阵为B????1b2???11a??c?，利用(I)?c?1?与(II)同解可得：r(A)?r(B)，由此不难求出a，进而求出(I)的基础解系，利用性质3.1将求出的基础解系中的解向量代入(II)便得关于b,c的方程，结合r(A)?r(B)的条件解之便可求出b,c.
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