本题考查线性方程组有解与无解的条件，也考查了向量组的线性表示与线性方程组的关系.
例3.38 （91，8分）已知
?1?(1,0,2,3),?2?(1,1,3,5),?3?(1,?1,a?2,1),?4?(1,2,4,a?8)及??(1,1,b?3,5).
（1）a,b为何值时，?不能表示成?1,?2,?3,?4的线性组合？
（2）a,b为何值时，?有?1,?2,?3,?4的唯一的线性表示式？并写出该表示式. 解 考虑线性方程组Ax??T,A?(?1,?2,?3,?4)，增广矩阵
TTTT?1?0__A?(A?T)???2??31111??1经过行初等变换?01?121????03a?24b?3???51a?85??0__02?11?120a?1000a?10?1?? b??0?（1）当a??1,b?0时，r(A)?2?r(A)?3，?不能表示成?1,?2,?3,?4的线性组合； （2）当a??1,b为任意值时，r(A)?r(A)?4， Ax??T有惟一解：
__?2ba?b?1b?,,0?，故此时?有?1,?2,?3,?4的惟一的线性表示式，且 ??a?1a?1??a?1???2ba?b?1b?1??2??3 a?1a?1a?1
本题考查线性方程组有解与无解的条件，也考查了向量组的线性表示与线性方程组的关系.
§3.5 矩阵与向量组等价的例题
例3.39 （北大教材，Ｐ158，24）证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系. 例3.40（北大教材，Ｐ158，25） 证明：设齐次线性方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn ?????as1x1?as2x2???asnxn?0的系数矩阵的秩为r，证明：方程组的任意n?r个线性无关的解都是它的一个基础解系.
例3.41（北大教材，Ｐ159，4）已知两向量组有相同的秩，且其中之一可被另一个线性表出，证明：这两个向量组等价.
例3.42对任意n阶矩阵A，证明：R(A)?R(A
nn?1)?R(An?2)??.
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§4 练习题
1、 把向量?表成向量?1,?2,?3,?4的线性组合
1）??(1,2,1,1),?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1),?3?(1,?1,1,?1),?4?(1,?1,?1,1) 2）??(0,0,0,1),?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1),?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1) 2、证明：如果向量组?1,?2,?,?r线性无关，而?1,?2,?,?r,?线性相关，则向量?可以由?1,?2,?,?r线性表出。
3、如果|aij|那么?1,?2,?,?n线?i?(ai1,ai2,?,ain),i?1,2,?,n.证明：?0，性无关。
4、设t1,t2,?,tr是互不相同的数，r?是线性无关的.
5、设?1,?2,?3线性无关，证明：?1?2,?,rn.证明：?i?(1,ti,?,tin?1),i?1,?2,?2??3,?3??1也线性无关.
6、已知?1,?2,?,?s的秩为r，证明：?1,?2,?,?s中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.
7、设?1,?2,?,?s的秩为r，?i1,?i2,?,?ir是?1,?2,?,?s中的r个向量，使得证明：?1,?2,?,?s中每个向量都可被它们线性表出，?i,?i,?,?ir是?1,?2,?,?s的
12一个极大线性无关组.
8、证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一极大线性无关组. 9、设
?1?(1,?1,2,4),?2?(0,3,1,2),?3?(3,0,7,14）,?4?（1，-1，2，0),?5?(2,1,5,6).
1）证明：?1,?2线性无关；
2）把?1,?2扩充成一极大线性无关组.
10、证明：如果向量组(I)可以由向量组(II)线性表出，那么(I)的秩不超过(II)的秩. 11、设?1,?2,?,?n是一组n维向量，已知单位向量?1,?2,?,?n可被它们线性表出，证明：?1,?2,?,?n线性无关.
12、设?1,?2,?,?n是一组n维向量，证明：?1,?2,?,?n线性无关的充分必要条件是任一n维向量可被它们线性表出.
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?a11x1?a12x2???a1nxn?b1??ax?a22x2???a2nxn?b213、证明方程组?211
???ax?ax???ax?bn22nnnn?n11对任何b1,b2,?,bn都有解的充分必要条件是系数行列式|aij|?0
14、已知?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?r,?r?1,?,?s有相同的秩，证明：?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?r,?r?1,?,?s等价. 15、设
?1??2??3????r，?2??1??3????r,?,?r??1??2????r?1证明?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?r有相同的秩.
16、假设向量?可以经由向量组?1,?2,?,?r线性表出，证明：表示法是唯一的充分必要条件是?1,?2,?,?r线性无关.
17、设?1,?2,?,?r是一组线性无关的向量，?i?aij?j,i?j?1r?1,2,?,r.证明：
?1,?2,?,?r线性无关的充分必要条件是
a11a12?a1ra21a22?a2r?????0.
ar1ar2?arr18、证明：?1,?2,?,?s（其中?1?0）线性相关的充分必要条件是至少有一
?i(1?i?s)可被?1,?2,?,?i?1线性表出.
19、设向量组?1,?2,?,?s的秩为r，在其中任取m个向量?i1,?i2,?,?im，证明：此向量组的秩?r?m?s.
20、设向量组?1,?2,?,?s;?1,?2,?,?t;?1,?2,?,?s,?1,?2,?,?t的秩分别为
r1,r2,,r3.证明：max(r1,r2)?r3?r1?r2.
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?a11x1?a12x2???a1nxn?0??a21x1?a22x2???a2nxn?021、线性方程组?的系数矩阵为
???ax?ax???a11n-1，22n-1，nxn?0?n-1，a11a21?a12a22?an?1,1an?1,2?a1n?a2n
???an?1,n设Mi是矩阵A中划去第i列剩下的(n?1)?(n?1)矩阵的行列式. 1）证明：(M1,?M2,?,(?)n?1Mn)是方程组的一个解；
2）如果A的秩为n?1，那么方程组的解全是(M1,?M2,?,(?)n?1Mn)的倍数. 22、设?i?(ai1,,ai2,?,ain),i?1,2,?,s,??(b1,b2,?,bn),如果线性方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?0??a21x1?a22x2???a2nxn?0 ????ax?ax???ax?0s22snn?s11的解全是方程b1x1?b2x2???bnxn?0的解，那么?可由?1,?2,?,?s线性表出.
23、设?0是线性方程组的一个解，?1,?2,?,?t是它的导出方程组的一个基础解系，令
?1??0,?2??1??0,?,?t?1??t??0
证明：线性方程组的任一个解?，都可表成
??u1?1?u2?2???ut?1?t?1.
其中u1?u2???ut?1?1.
?a1n???a2n?为一实数域上的矩阵，证明： ?????ann??a11a12?a21a2224、设A???????an1an21）如果|aii|?2）如果aii??|aij?ji|,i?1,2,?,n，那么|A|?0；
|aij?ji?|,i?1,2,?,n，那么|A|?0.
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?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn25、设齐次线性方程组?的系数行列式D?0，而D中某
????anix1?an2x2???annxn?0一元素aij的代数余子式Aij?0.证明这个方程组的解都可以写成
kAi1,kAi2,?,kAin
的形式，此处k为任意常数.
26、证明，一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵之和.
27、下列哪些论断是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例： （1）如果当a1?a2???ar?0时，a1?1?a2?2???ar?r?0，那么?1,?2,?,?r线性无关；
（2）如果?1,?2,?,?r线性无关，而?r?1不能由?1,?2,?,?r线性表示，那么
?1,?2,?,?r,?r?1线性无关；
（3）如果?1,?2,?,?r线性无关，那么其中每一向量都不是其余向量的线性组合； （4）如果?1,?2,?,?r线性相关，那么其中每一向量都是其余向量的线性组合. 28、设向量?可以由?1,?2,?,?r线性表示，但不能由?1,?2,?,?r?1线性表示.证明，向量组?1,?2,?,?r?1,?r与向量组?1,?2,?,?r?1,?等价.
§4.3 补充习题 29、（93，3分）设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n?1，则线性方程组 AX?0的通解是 .
30、（00，3分）已知方程组
1??x1??1??12?23a?2??x???3? ???2?????1a?2????0???x3???无解，则a? .
31、（89，3分）设n元齐次线性方程组Ax?0的系数矩阵A的秩为r，则Ax?0有非零解的充分必要条件是
(A) r?n (B) r?n (C) r?n (D) r?n 32、（90，3分）已知?1,?2是非齐次线性方程组Ax?b的两个不同的解，?1,?2是对应齐次线性方程组Ax?0的基础解系，为任意常数，则方程组Ax?b的通解（一般解）是
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