?123???例3.27（05，9分）已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246 ????36k??（k为常数），且AB?0，求线性方程组Ax?0的通解.
解 若k?9，则由AB?0知(1,?2,3)T,(3,6,k)T是线性方程组Ax?0的两个线性无关的解向量，因此Ax?0的基础解系所含向量的个数?2，即3?r(A)?2可得：r(A)?1.但
A?0，因此r(A)?1，所以r(A)?1，从而(1,?2,3)T,(3,6,k)T构成线性方程组的基础解
系，故：
x?c1(1,2,3)T?c2(3,6,k)T是方程组的通解；
(c1,c2为任意常数）若k?9，则由AB?0知(1,?2,3)T是线性方程组Ax?0的解向量，因此Ax?0的基础解系所含向量的个数?1，即3?r(A)?1可得：r(A)?2.
如果r(A)?2，(1,?2,3)T构成线性方程组Ax?0的基础解系，故：
x?c(1,2,3)T是方程组Ax?0的通解；
(c为任意常数）如果r(A)?2，但A?0，因此r(A)?1，所以r(A)?1，于是Ax?0与线性方程组
ax1?bx2?cx3?0同解，不妨设a?0，则(?b,a,0)T,(?c,0,a)T构成线性方程组的基础解
系，故：
x?c1(?b,a,0)T?c2(?c,0,a)T是方程组Ax?0的通解；
(c1,c2为任意常数）
本题考查齐次线性方程组解的结构，基础解系的计算与齐次线性方程组的通解公式.
例3.28（07，11分）设线性方程组
?x1?x2?x3?0??x1?2x2?ax3?0 ?2?x1?4x2?ax3?0与方程
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x1?2x2?x3?a?1
有公共解，求a的值及所有公共解.
分析 问题等价于讨论非齐次线性方程组
?x1?x2?x3?0?x?2x?ax?0?123 ?2?x1?4x2?ax3?0?x?2x?x?a?123?1有解的条件，并在有解的条件下求出所有解.
解 我们考虑非齐次线性方程组
?x1?x2?x3?0?x?2x?ax?0?123 ?2?x1?4x2?ax3?0?x?2x?x?a?123?1它的增广矩阵
?1?1__A?(Ab)???1??1112a4a2210??1经过行初等变换?00????00???a?1??0__110?__1a?10???B
0(a?1)(a?2)0??01?aa?1?（1） 当a?2且a?1时，r(A)?3,r(A)?4，线性方程组无解； （2） 当a?2且a?1时，r(A)?r(A)?3，线性方程组有惟一解，此时
__?1?0__B???0??01111000?1T0??1?00?? ??00???1??0010000?01?? 1?1??00?故惟一的公共解为：x?(0,1,?1)；
（3）当a?1时，r(A)?r(A)?2，线性方程组有无穷多组解，此时
__?1?0__B???0??0T110010000??1?00?? ??00???0??0010010000?0?? 0??0?易见(?1,0,1)是其导出组的基础解系，故所有的公共解为：
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x?c(?1,0,1)T
(c为任意常数）本题考查线性方程组有解的条件，通解公式.
§3.2 线性相关与无关的例题
例3.29（北大教材，Ｐ159，2）设?1,?2,?,?r是一组线性无关的向量，?i?r?aj?1ji?j，
i?1,2,?,r.证明：?1,?2,?,?r线性无关的充分必要条件是
a11a21?ar1a12a22?ar2?a1r?a2r???arr?0
例3.30(北师大教材，P226，9)设在向量组?1,?2,?,?r中，?1?0且每一?i都不能表成它的前i?1个向量?1,?2,?,?i?1的线性组合.证明?1,?2,?,?r线性无关.
例3.31(北师大教材，P226，10)设向量?1,?2,?,?r线性无关，而?1,?2,?,?r,?,?线性相关.证明，或者?与?中至少有一个可以由?1,?2,?,?r线性表示，或者
?1,?2,?,?r,?与?1,?2,?,?r,?等价.
例3.32（98，4分）设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Ax?0有解向量?，
k?1且A??0，证明：向量组?,A?,?A?是线性无关的.
k?1k
§3.3 求矩阵与向量组的秩及其极大无关组的例题
例3.33 求向量组
?1?(1,3,0,5),?2?(1,2,1,4),?3?(1,1,2,3),?4?(1,0,2,3),?5?(1,?3,6,?1),?6?(0,5,?3,3)
的秩和一个极大无关组，并将余下的向量用求出的极大无关组线性表出. 解
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??
T1,?2,?3,?4,?5,?6TTTTT??1?3???0??512141123110??1?00?35????26?3??0??3?13??00?11200000?51?061??10?2??000?所以R(?1,?2,?3,?4,?5,?6)?3，?1,?2,?4为它的一个极大无关组，
?3???1?2?2，?5??5?1?6?2，?6??1??2?2?4.
例3.34 证明：对任意实矩阵A,R(ATA)?R(A).
证明：设A是m?n矩阵，且R(A)?r，则存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使得
?ErA?P??0?T0?TT?Er??，从而QAA?Q??00??0?T?Er?PP???00??0?1T?P??Q?Q?00???0??Q，其中P1是?0?正定矩阵PP的r阶顺序主子式，所以R(ATA)?R?QT??例3.35证明：R(ABC)?R(AB)?R(BC)?R(B).
????P1?00???Q??R(P1)?r?R(A). ?0???证明：设A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，C是s?t矩阵，且R(B)?r，则存在n阶可
?B1?逆矩阵P，使得B?P??0???P1B1，其中P1是P的前r列构成的n?r矩阵，B1是r?s矩
??阵，由于AP1的列数和B1C的行数都等于r，所以
R(ABC)?R(AP1B1C)?R(AP1)?R(B1C)?r
又R(AB)?R(AP1B1)?R(AP1),R(BC)?R(P1B1C)?R(B1C)，所以
R(ABC)?R(AB)?R(BC)?R(B).
例3.36对任意n阶矩阵A，证明：R(A)?R(Ann?1)?R(An?2)??.
证明：如果A为可逆矩阵，结论显然成立；现设A不是可逆矩阵，则
n?R(A)?R(A2)???R(An)?R(An?1)?R(An?2)???0
因为小于n的非负整数只有n个，因此上式中必有两个相等，不妨设
R(Ai)?R(Ak?i)那么
,0?k,.i?n
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R(Ai)?R(Ai?1)???R(Ak?i)下面我们利用数学归纳法证明：
R(Ak?i?m)?R(Ai),m?1,2,?
m?1时，R(Ai)?R(Ak?i?1)?R(AkAiA)?R(AkAi)?R(AiA)?R(Ai)?R(Ai)，结论
成立；现设R(Ak?i?m)?R(Ai),则
R(Ai)?R(Ak?i?m)?R(Ak?i?m?1)?R(Ak?mAiA)?R(Ak?mAi)?R(AiA)?R(Ai)?R(Ai)结论成立；因为i?n，故有R(An)?R(An?1)?R(An?2)???R(Ai).
§3.4 一个向量是否能由一个给定的向量组线性表出的例题
例3.37 （91，7分）设有3维列向量
?1?(1??,1,1)T,?2?(1,1??,1)T,?3?(1,1,1??)T,??(0,?,?2)T
问?取何值时
（1）?可由?1,?2,?3线性表示，且表达式惟一？ （2）?可由?1,?2,?3线性表示，且表达式不惟一？ （3）?不能由?1,?2,?3线性表示？
解 考虑线性方程组Ax??,A?(?1,?2,?3)，增广矩阵
__11?1??A?(Ab)??1??1?1?11???10??11??经过行初等变换?0???????2?0??0
__????(1??)??32??(??3)???2?????1?（1）当??0且???3时，r(A)?r(A)?3，线性方程组Ax??有惟一解，故此时?可由?1,?2,?3线性表示，且表达式惟一；
（2）当??0时，r(A)?r(A)?1?3，线性方程组Ax??有无穷多组解. 故此时?可由
__?1,?2,?3线性表示，且表达式不惟一；
（3）（2）当???3时，r(A)?2?r(A)?3，线性方程组Ax??无解. 故此时?不能由
__?1,?2,?3线性表示.
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