条件是：R(A)?R(B)?R(A,B)；
（2）n维向量组(I)?1,?2,?,?m能由(II)?1,?2,?,?s线性表示的充分必要条件是：
R(B)?R(A,B)；
（3）n维向量组(I)?1,?2,?,?s能由(II)?1,?2,?,?m线性表示的充分必要条件是：
R(A)?R(A,B)；
我们仅对性质3.5（2）给出证明，（1），（3）不难仿此证明.
证明 “必要性的证明”因为向量组(I) ?1,?2,?,?m能由(II)?1,?2,?,?s线性表示，因此：向量组 (III) ?1,?2,?,?m，?1,?2,?,?s中的所有向量都能由(II)?1,?2,?,?s线性表示，而(II)中的所有向量显然能由(III) ?1,?2,?,?m，?1,?2,?,?s线性表示，所以这两个向量组等价，故：R(B)?R(A,B)；
“充分性的证明”因为R(B)?R(A,B)，而(II)的极大无关组显然是(III)的线性无关向量组，因此也是它的一个极大无关组，所以(III)中的向量均能由这个极大无关组线性表示，特别(I)中的向量?1,?2,?,?m也能由它线性表示，因而能由(II)?1,?2,?,?s线性表示.
利用性质3.5，讨论两个n维向量组?1,?2,?,?m，?1,?2,?,?s是否等价的步骤可以归纳为：
（1） 构造矩阵C?(A,B)?(?1,?2,?,?m,?1,?2,?,?s)； （2） 利用行初等变换将C化为行阶梯型矩阵
C经过行初等变换C1?(A1,B1)
此时A1一定是行阶梯型矩阵，B1不一定是行阶梯型矩阵；
（3） 若B1不是行阶梯型矩阵，则对B1继续进行行初等变换化为行阶梯型矩阵B2； （4） 讨论并下结论：若R(A)?R(B)?R(A,B)，则两个向量组等价，否则不等价. 例3.22（03，13分）设有向量组 (I) ：?1?(1,0,2),?2?(1,1,3),?3?(1,?1,a?2) (II) ：?1?(1,2,a?3),?2?(2,1,a?6),?3?(2,1,a?4).试问：当a为何值时，向量组(I)与向量组(II)等价？当a为何值时，向量组(I)与向量组(II)不等价？
53
TTTTTT解 令 A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2,?3)
1122?1122??11?11经过行初等变换??01?1?(A,B)??01?1211211???????23a?2a?3a?6a?4???00a?1a?1a?1a?1??22??1?122?经过行初等变换?2??011?
11???????a?1a?1a?1???001??（1）当a??1时，R(A)?R(B)?R(A,B)?3，故：向量组(I)与向量组(II)等价； （2）当a??1时，R(A)?2,R(B)?3，故：向量组(I)与向量组(II)不等价.
§3 例题选讲
§3.1 线性方程组是否有解的例题
例3.23（02，8分）设四元齐次线性方程组(I)为
?0?2x1?3x2?x3 ??x1?2x2?x3?x4?0且已知另一四元齐次线性方程组(II)的一个基础解系为
?1?(2,?1,a?2,1)T,?2?(?1,2,4,a?8)
（1）求方程组(I)的一个基础解系；
（2）当a为何值时，方程组(I)与(II)有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解？
解 （1）(I)的系数矩阵
?23?10?经过行初等变换?10?53??121?1??013?2? ????因此?1?(5,?3,1,0),?2?(?3,2,0,1)是(I)的基础解系 （2）考虑齐次线性方程组(?1,?2,?1,?2)x?0，系数矩阵
TT2?1??5?3?1??32?经过行初等变换?0?12??A?(?1,?2,?1,?2)???1?00a?24????011a?8???00a?24?11a?8?? 0?5(a?1)3(a?1)??00a?1?若a??1，r(A)?4，齐次线性方程组Ax?0没有非零解，此时(I)与(II)没有非零
54
公共解；
若a??1,r(A)?2，?1,?2与?1,?2均是?1,?2,?1,?2的极大无关组，所以?1,?2与
?1,?2等价，此时(I)与(II)同解，故(I)与(II)的所有非零公共解为
. x?k1(5,?3,1,0)T?k2(?3,2,0,1)T?(5k1?3k2,2k2?3k1,k1,k2)T(k1,k2不全为零）说明 ① 由于已证(I)与(II)的基础解系等价，所以(I)与(II)同解，从而（I）的基础解系就是(?1,?2,?1,?2)x?0的一个基础解系，由此不难求出(I)与(II)的所有非零公共解； ② 一般变元个数相同的两个非齐次线性方程组的基础解系等价，则它们必同解.
本题考查齐次线性方程组的基础解系的计算，两个齐次线性方程组有非零公共解的判定和计算.
例3.24（02，6分）已知矩阵A?[?1,?2,?3,?4],?1,?2,?3,?4均为4维列向量，其中
?2,?3,?4线性无关，?1?2?2??3.如果???1??2??3??4，求线性方程组Ax??的
通解.
解 因为?2,?3,?4线性无关，所以矩阵A的秩r(A)?3，又由?1?2?2??3知
?1,?2,?3,?4线性相关且A(1,?2,1,0)T??1?2?2??3?0，因此r(A)?3，从而
r(A)?3，(1,?2,1,0)T 为Ax?0的一个基础解系，又：???1??2??3??4，所以
A(1,1,1,1)T??1??2??3??4??，即：(1,1,1,1)T是Ax??的一个特解，故Ax??的通
解是
x?(1,1,1,1)T?k(1,?2,1,0)T (k为任意常数）本题考查矩阵的秩与向量组的线性相关与线性无关的关系，齐次线性方程组的基础解
系的计算，线性方程组的通解公式，分块矩阵的乘法.
例3.25（03，8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1:ax?2by?3c?0,l2:bx?2cy?3a?0,l3:cx?2ay?3b?0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0. 分析 问题等价于讨论线性方程组
?ax?2by??3c??bx?2cy??3a ?cx?2ay??3b?有惟一解的充分必要条件.
55
证明 “首先证明充分性” 如果a?b?c?0，考虑线性方程组
?ax?2by??3c? ?bx?2cy??3a (3.11)
?cx?2ay??3b?的增广矩阵
__?a2b?3c??
A?(A?)??b2c?3a????c2a?3b??因为|A|?b__ac2b?3c2c?3a?0（将第2行与第3行加到第1行结合条件a?b?c?0便得），
2a?3b__所以r(A)?r(A)?2，又A中至少有一个2阶子式不为零，否则a2?bc,b2?ac,c2?ab，再由a?b?c?0得：
(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc?3(a2?b2?c2)?0
于是a?b?c?0，与题设l1,l2,l3为三条不同的直线矛盾，因此r(A)?r(A)?2，故：线性方程组(5.12)有惟一解，l1,l2,l3相交于一点；
“现在证明必要性” 因为l1,l2,l3相交于一点，因此线性方程组(5.12)有惟一解，所以
______a2b?3cr(A)?r(A)?2，那么|A|?b2c?3a?0，但：
c2a?3b__a2b?3c|A|?b2c?3a?3(a?b?c)[(a?b)2?(a?c)2?(b?c)2]
c2a?3b(a?b)2?(a?c)2?(b?c)2?0，否则a?b?c导致l1,l2,l3为同一条直线，与题设矛盾，
故：a?b?c?0.
本题考查线性方程组有惟一解的条件，也考查行列式的计算.
例3.26（04，13分）已知(1,?1,1,?1)是线性方程组
T?x1??x2??x3?x4?0? ?2x1?x2?x3?2x4?0?3x?(2??)x?(4??)x?4x?1234?1
56
的一个解，试求
（1）该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （2）该方程组满足x2?x3的全部解.
解 将(1,?1,1,?1)T代入线性方程组可得：???.考虑线性方程组的增广矩阵
__??1A?(Ab)??1?2??32??12?14??__10??1?经过行初等变换?0120????41???000?__?311??B
4??22??12??1???1（1）当??时，r(A)?r(A)?3，线性方程组有无穷多组解，此时
__?1?B???01??000??1001?311? 010?12??1?4??22??12??1???0012?10???12? 1?2?易见(?2,1,?1,2)T是其导出组的基础解系，故：
x?(1,?1,1,?1)T?k(?2,1,?1,2)T是方程组的通解；
当??12__ (k为任意常数）时，r(A)?r(A)?2，线性方程组有无穷多组解，此时
11110?10?11?1??22?22__???B??01311 01311
???????00000???00000??易见(1,?3,1,0),(?1,?2,0,2)是其导出组的基础解系，故：
TTx?(1,?1,1,?1)T?k1(1,?3,1,0)T?k2(?1,?2,0,2)T是方程组的通解；
（2）当??12 (k1,k2为任意常数）时，由x2?x3得：k1??3k1?2k2?1，因此k2??2k1?1，故方程组满足2x2?x3的全部解为
x?(?1,0,0,1)T?k1(3,1,1,?4)T当??12 (k1为任意常数）时，由x2?x3得：?1?k?1?k，因此k?1，故方程组满足x2?x3的解为
x?(1,?1,1,?1)T?(?2,1,?1,2)T?(?1,0,0,1)T
本题考查基础解系的计算与线性方程组的通解公式.
57