1??123??10经过行初等变换???01?，所以r(A)?2，但(II)
1解 因为(I)的系数矩阵A?235???????11a???00a?2??的系数矩阵B???1b2?2bc?,r(B)?2，由题设(I)与(II)同解可得：r(A)?r(B)?2，c?1??因此：a?2，且(?1,?1,1)T是(I)的一个基础解系，代入(II)得：
??1?b?c?0，于是c?b?1,b(b?1)?0，所以b?0或b?1； ?2??2?b?c?1?0?101?当b?0时，c?1，此时B???,r(B)?1与r(B)?2矛盾；
202??当b?1时，c?2，此时B??故：a?2,b?1,c?2.
3、利用线性方程组解的性质与解的结构定理
例3.6（00，3分）设?1,?2,?3是4元非齐次线性方程组AX?b的三个解向量，且
?111?,r(B)?2； ??213?r(A)?3,?1?(1,2,3,4)T,?2??3?(0,1,2,3)T，c为任意常数，则线性方程组AX?b的通
解X?
?1??1??1??0??1??2??1??3??2??1??2??1??2??3??2??4?(A)???c?? (B) ???c?? (C) ???c?? (D) ???c??
?3??1??3??2??3??4??3??5?????????????????414345?????????????4??6?本题应该选择(C)；
分析 由题设结合性质3.6知2?1与?2??3均为非齐次线性方程组Ax?2b的解向量，从
T而2?1?(?2??3)?(2,3,4,5)是齐次线性方程组Ax?0的一个非零解向，量，而秩
(A)?3，所以(2,3,4,5)T构成Ax?0的一个基础解系，故由性质3.8知：
(1,2,3,4)T?c(2,3,4,5)T是Ax?b的通解，故选择(C)正确。
例3.7（06,9分）已知非齐次线性方程组
43
?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1 ?ax?x?3x?bx?1234?1有三个线性无关的解。
（1） 证明方程组系数矩阵A的秩r(A)?2； （2） 求a,b的值及方程组的通解。 证明（1）因为A有一个二阶子式
11??1?0，所以r(A)?2， 43又设?1,?2,?3是题设方程的三个线性无关的解，则?1??2,?1??3是齐次线性方程组
Ax?0的两个解。我们断言?1??2,?1??3线性无关，否则设有两个不全为零的数k1,k2，
使得：k1(?1??2)?k2(?1??3)?0，即(k1?k2)?1?k1?2?k2?3?0与?1,?2,?3线性无关矛盾。所以?1??2,?1??3线性无关，于是4?r(A)?2，即得r(A)?2，故
r(A)?2.
2?42??1111?1??10????
?15?3（2）A??Ab??435?1?1 01??????1??a13b??004?2ab?4a?54?2a??__因此a?2,b??3，此时r(A)?r(A)?2.
__?1?(?2,1,10)T,?2?(4,?5,0,1)T是Ax?0的基础解系，??(2,?3,0,0)T是Ax?b的一个
特解，故
X?(2,?3,0,0)T?k1(?2,1,1,0)?k2(4,?5,0,1)T （k1,k2为任意常数）
是方程组的通解.
§2.2 向量的线性相关与线性无关的判定
1、利用定义
例3.8 已知向量组?1,?2,?,?s线性无关，?1,?2,?,?s,?线性相关，则?可由
?1,?2,?,?s惟一线性表示.
证明 因为?1,?2,?,?s,?线性相关，所以存在不全为零的数k1,?,ks,k使得：
44
k1?1???ks?s?k??0，若k?0，则k1,?,ks不全为零且k1?1???ks?s?0，与
?1,?2,?,?s线性无关矛盾，所以k?0，于是
??(?kk1)?1???(?s)?s kk即?可以由?1,?2,?,?s线性表示，若 ??a1?1???as?s 且
??b1?1???bs?s
则有：
(a1?b1)?1???(as?bs)?s?0 而?1,?2,?,?s线性无关，故：a1?b1,?,as?bs. 例3.9 设r维向量?i?(ai1,ai2,?,air),i?1,2,?,m，
t维向量?i?(ai1,ai2,?,ait),i?1,2,?,m，
t?r.如果?1,?2,?,?m线性无关，则?1,?2,?,?m线性无关.
证明 如果?1,?2,?,?m线性相关，则存在不全为零的数k1,?,km使得：
k1?1?k2?2???km?m?0，从而k1?1?k2?2???km?m?0，故：?1,?2,?,?m线
性相关，与?1,?2,?,?m线性无关矛盾.所以?1,?2,?,?m线性无关.
说明：本题的等价说法是：如果?1,?2,?,?m线性相关，则?1,?2,?,?m线性相关.
2、利用线性相关与无关的性质
例3.10（88,3分）n维向量组?1,?2,?,?s(3?s?n)线性无关的充分必要条件是
(A)存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使k1?1?k2?2???ks?s?0 (B)?1,?2,?,?s中任意两个向量都线性无关
(C)?1,?2,?,?s中存在一个向量，它不能由其余向量线性表出
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(D)?1,?2,?,?s中任意一个向量都不能由其余向量线性表出
应该选择（D）.
说明 ①本题主要考察正确理解性质2(2)，考生要注意性质3.2中带有“圆点”的字，即(1)中的“任何”与“某个”，(2)中的“至少”与“任何”，务必明确它们对应的条件与结论； ②取?1??10?,?2??01?,?3??11?，易见?1,?2,?3两两线性无关，但?1,?2,?3线性相关，由此知选项（B）不对，同时也说明性质3.2中(1)对应的逆命题不成立； ③利用定义可知，把选项（A）中的“存在一组”改为“对任何”，则选项（A）也正确. 例3.11 （92,7分）设向量组?1,?2,?3线性相关，向量组?2,?3,?4线性无关，问： (1)?1能否由?2,?3线性表出？证明你的结论； (2)?4能否由?1,?2,?3线性表出？证明你的结论.
分析 ?2,?3,?4线性无关，利用性质3.2(1)?2,?3线性无关，又?1,?2,?3线性相关，结合例3.1的结论知?1能由?2,?3线性表出，问题(1)得证（此时已将例3.1的证明方法应用于此）.若?4能由?1,?2,?3线性表出，结合(1)的结论，?4能由?2,?3线性表出，利用性质3.2(2)知?2,?3,?4线性相关，与题设矛盾.
证明 (1)因为?2,?3,?4线性无关，所以?2,?3线性无关； 又?1,?2,?3线性相关，故：?1能由?2,?3线性表出；
(2)由(1)知?1,?2,?3能由?2,?3线性表出，若?4能由?1,?2,?3线性表出，则?4能由从而?2,?3,?4线性相关，与题设矛盾，故?4不能由?1,?2,?3线性表出. ?2,?3线性表出，
3、 利用线性方程组的理论
例3.12 （99,8分）设向量组?1?(1,1,1,3)T,?2?(?1,?3,5,1)T,?3?(3,2,?1,p?2)T，
?4?(?2,?6,10,p)T，
T(1)p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量??(4,1,6,10)用
?1,?2,?3,?4线性表出；
(2)p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组. 解
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?1?1??1?3(?1,?2,?3,?4,?)??15??31?3?24??1??2?61??0????0?1106?????0p?2p10??0100001002??21? ?01?p?21?p??(1)p?2时，秩(?1,?2,?3,?4)?4，因此?1,?2,?3,?4线性无关，且
??2?1?3p?41?p?2??3??4； p?2p?2(2)p?2时，秩(?1,?2,?3,?4)?3，因此?1,?2,?3,?4线性相关，且
?1,?2,?3是该向量组的一个极大无关组.
利用方法3讨论向量组的线性相关与线性无关性通常还伴随有将某些向量表为这个向
量组的线性组合（此时该向量组线性无关）；或求该向量组的秩与一个极大线性无关组并将其余向量表为这个极大线性无关组的线性组合（此时该向量组线性相关）.
4、利用行列式
例3.13 （02,3分）设向量组?1?(a,0,c),?2?(b,c,o),?3?(o,a,b)线性相关，则abc必满足关系式_____________. 本题应填abc?0.
?1a0c解 ?2?bc0?2abc，故由题设知：abc?0.
?300b
5、利用替换定理
例3.14 （03,4分）设向量组(I):?1,?2,?,?r可由(II)?1,?2,?,?s线性表示，则
(A)当r?s时，向量组(II)必线性相关；(B) 当r?s时，向量组(II)必线性相关； (C) 当r?s时，向量组(I)必线性相关；(D) 当r?s时，向量组(I)必线性相关. 应该选择(D).
§2.3矩阵与向量组的秩及其极大无关组的计算与判定
1、利用矩阵的初等变换
利用矩阵的初等变换求向量组的秩及其极大无关组的步骤
该问题通常伴随有把其余的向量用求出的极大无关组线性表示.
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