(1) 以?1,?2,?,?m为列向量组构造矩阵A，即A?(?1,?2,?,?m)； (2) 利用行初等变换将A化为如下形式的行阶梯型矩阵
?1?0???? ?0?0????0?0?0c1,r?1?c1m?1?0c2,r?1?c2m????????0?1cr,r?1?crm? （3.9） 0?00?0???????000?0??(3)下结论：向量组的秩为r，?1,?2,?,?r为该向量组的一个极大无关组，且
?r?1?c1,r?1????cr,r?1?r,?r?2?c1,r?2?1???cr,r?2?r,?m?c1m?1???crm?r
说明 ① 有时需要交换两列的位置，才能将A化为（3.9）的形式，此时与（3.9）对应的
?,?2?,?,?r?,?r??1,?,?m?已是?1,?2,?,?m的一个重排，考生应留意以免误下结列向量组?1论（参见例3.）；
②当?1,?2,?,?m为行向量组，应构造矩阵A?(?1,?2,?,?m)；
③当?1,?2,?,?m中含有参数时，此时问题通常为确定参数的值，使向量组线性无关、线性相关，并在相关时求向量组的秩及其极大无关组，把其余的向量用求出的极大无关组线性表示（当m?n且?1,?2,?,?n线性无关时，还有可能将另一向量?用?1,?2,?,?n线性表示，参见例3.17）.
解题步骤为
TTTA?(?1,?2,?,?m)经过行初等变换?c11?0?????0?0????0????c22????0?crr0?0?0?0????????????????? （3.10） 0?0?????0?0??此时?代表的数和cii(i?1,2,?r)有可能是含有参数的表达式，通过讨论确定参数的值，使向量组线性相关、线性无关，并在相关时继续把（4.2）通过行初等变换化为（4.1）并按前
面的方法讨论即可.但在用行初等变换将A化为（4.2）的形式时，要注意含有参数的数一般不能作分母，否则会发生错误.
当m?n时，也可以先求出行列式|A|，根据|A|?0与|A|?0求出向量组线性无关与
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线性相关的参数值，再分别讨论.
仅求一个矩阵A的秩时，可利用矩阵的初等变换，即
经过初等变换A阶梯型矩阵
则A的秩等于阶梯型矩阵中非零行的行数.
说明 ① 矩阵的行秩（即行向量组的秩）等于列秩（即列向量组的秩）等于矩阵的秩； ② 求一个向量组的秩，可以这个向量组为行向量（当为行向量时），也可以这个向量组为列向量（当为列向量时）构造相应的矩阵求出矩阵的秩便是向量组的秩.
?0?0例3.15（07，4分）设矩阵A???0??0本题应填1；
100001000?0??，则A3的秩为 1??0?0000100000000?1??， 0??0?00001?0??，所以A3的秩为1. 0??0??0?02解A???0??01000010010000??0?00???1??0??0??001001000010000000??0?00????1??0??0??01000?0?032A?AA???0??00??0?00???1??0??0??00??0?01????0??0??0??0例3.16（90，3分）已知向量组?1?(1,2,3,4),?2?(2,3,4,5),?3?(3,4,5,6),?4?(4,5,6,7)，则该向量组的秩为 本题应填2；
?1?2解 (?1,?2,?3,?4)???3??4故向量组的秩为2.
234534564??1经过初等变换?05????06???7??0210032004?3?? 0??0?例3.17 设?1?(1,2,1),?2?(2,4a,2),?3?(1,3,a),?4?(?2,?2,?1)，
（1） 问a为何值时，?1,?2,?3线性无关？并在此时将?4表为?1,?2,?3的线性组合； （2） 问a为何值时，?1,?2,?3线性相关？并在此时求?1,?2,?3的秩和一个极大无关组
并将其余向量用求出的极大无关组线性表示；
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21?2??121?2??1经过行初等变换TTTT???04(a?1)?
12解A?(?1,?2,?3,?4)?24a3?2??????0a?11??12a?1???0?（1）当a?1时，?1,?2,?3线性无关，此时
21??100?2??2??a?12(a?1)21?2???1?11?04(a?1)??010? 12??2???2(a?1)4(a?1)???00a?11????1?001?a?1??1111故：?4?[?2?a2 ?1?2(a?1)2]?1?[2(a?1)?4(a?1)2]?2?a?1?3（2）当a?1时，?1,?2,?3线性相关，此时
?121?(C,C)?112??102?23?001???010???010? ?????????000???000????000??故：?1,?2,?3的秩为2，?1,?3为它的一个极大无关组，?2?2?1.
?121?r?r?120?12????知
1说明 本题a?1时，不交换2列与3列的位置，也可以由001?0?????1,?3??000????000??为它的一个极大无关组，?2?2?1.
2、利用秩的性质
性质3.3 （1）R(AB)?min(R(A),R(B))； （2）R(PAQ)?R(A)(P,Q均为可逆矩阵)；
（3）R(A?B)?R(A)?R(B)；
（4）max(R(A),R(B))?R(A,B)?R(A)?R(B)； （5）若Am?nBn?l?0，则R(A)?R(B)?n； （6）设秩A?R(A)?r，则A
经过初等变换?Er?0?0? ?0?50
（7）（北大教材，P159，5） 例18 一个秩为1的n阶矩阵，一定可以表为一个n行一列矩阵和一个一行n列矩阵的乘积.
?1经过初等变换?0?证明 设A是秩为1的n阶矩阵，因为A????0?1?0P,Q，使得：A?P?????00?0?0?0??，所以存在n阶可逆矩阵?????0?0?0?0??1??1??0??0?0?0??Q?P???10?0?Q，令：B?P??, ??????????????0?0?0???0?C??10?0?Q，则B,C分别为n行一列矩阵和一行n列矩阵，且：A?BC.
?102???例3.19（96，3分）设A是4?3矩阵，且A的秩r(A)?2，而B?020 ?????103??则r(AB)? 本题应填2；
解 因为|B|?10，所以B为可逆矩阵，故r(AB)?r(A)?2. 例3.20 （北大教材，P204，10）
§2.4 讨论一个向量是否能由一个给定的向量组线性表出
理论依据： 设?1,?2,?,?m,?均为n维列向量，A?(?1,?2,?,?m)，则 （1）?不能由?1,?2,?,?m,?线性表示?R(?1,?2,?,?m)?R(?1,?2,?,?m,?)
?线性方程组Ax??无解；
（2）?能由
?1,?2,?,?m,?线性表示且表示惟一?R(?1,?2,?,?m)?
R(?1,?2,?,?m,?)?m?线性方程组Ax??有惟一解；
（3）?能由
?1,?2,?,?m,?线性表示且表示不惟一?R(?1,?2,?,?m)?
R(?1,?2,?,?m,?)?r?m?线性方程组Ax??有无穷多解；
讨论一个向量?能否由?1,?2,?,?m线性表示且表示是否惟一（当?1,?2,?,?m,?均为n维行向量，可对它们的转置进行讨论）一般是把问题转化为线性方程组是否有解，解是否惟一的讨论.
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例3.21已知?1?(1,4,0,2)T,?2?(2,7,1,3)T,?3?(0,1,?1,a)T,??(3,10,b,4)T， （1）问a,b为何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示？
（2）问a,b为何值时，?能由?1,?2,?3线性表示？并写出此表达式. 解 考虑线性方程组Ax??，此处A?(?1,?2,?3)，增广矩阵
?1?4__A?(A,?)???0??2__203??1经过行初等变换?07110????01?1b???3a4??002?1?1?12?? 0a?10??00b?2?（1）b?2时，R(A)?R(A)，线性方程组Ax??无解，?不能由?1,?2,?3线性表示； （2）b?2且a?1时，R(A)?R(A)?3，线性方程组Ax??有惟一解，?能由?1,?2,?3惟一线性表示，且????1?2?2；
（3）b?2且a?1时，R(A)?R(A)?2，线性方程组Ax??有无穷多解，其一般解为
____(?1,2,0)T?k(?2,1,1)T?(?1?2k,2?k,k)T，?能由?1,?2,?3线性表示，且
???(1?2k)?1?(2?k)?2?k?3（k为任意常数）
§2.4 矩阵与向量组的等价
性质3.4（1）矩阵的等价关系满足自反性，对称性，传递性；
（2）两个m?n矩阵A,B等价的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使得B?PAQ；
（3）两个m?n矩阵A,B行等价的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵P，使得B?PA； （4）两个m?n矩阵A,B等价的充分必要条件是：存在n阶可逆矩阵Q，使得B?AQ.
两个向量组?1,?2,?,?m，?1,?2,?,?s称为等价的，如果它们可以互相线性表示.因 此我们有
如果设
A?(?1,?2,?,?m)，B?(?1,?2,?,?s)，(A,B)?(?1,?2,?,?m,?1,?2,?,?s)，
这里的向量均视为列向量，若为行向量，就取它们的转置，则有
性质3.5 （1）两个n维向量组(I)?1,?2,?,?m，(II)?1,?2,?,?s等价的充分必要
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