高考数学专题复习（第2轮难点突破）
圆锥曲线专题复习与训练
——常用性质归纳、解题方法探寻、典型例题剖析、高考真题演练
【高考命题特点】
圆锥曲线是历年高考的重点内容，常作为高考数学卷的压轴题。 1. 从命题形式上看，以解答题为主，难度较大。 2. 从命题内容上看，主要考查求圆锥曲线的标准方程、求动点的轨迹方程、根据方程求最值、求参数的取值范围、证明定点、定值、探索存在性等。 3. 从能力要求上看，主要考查数学思想方法（如数形结合、分类讨论等）的运用能力。分析问题和解决问题的能力及运算能力。
一、圆锥曲线的常用性质
x2y21. 关于椭圆2?2?1?a?b?0?的补充性质（常在解题中遇到）：
ab① 经过焦点F1或F2的椭圆的弦AB，当AB?x轴时，AB最短，且ABmin2b2? a?MPQ② 过焦点的直线交椭圆于P、Q两点，点M是x轴上一定点，则当PQ?x轴时，的面积最大。 ③ 设右（左）准线与x轴交于点E，过E点的直线与椭圆交于P,，Q两点，点P?与点P关于x轴对称，则直线P?Q一定过椭圆的右（左）焦点F。 一般地，设P、Q是椭圆上两动点，直线PQ交x轴于点E（x1,0)，点P?与点P关于x轴对称，直线P?Q交x轴于点F(x2,0)，则x1x2?a2为定值。 ④ 设点P是椭圆右（左）准线上任一点（不在x轴上），A1、A2是椭圆的左、右顶点，直线A1P, A2P与椭圆分别交于M、N两点，则直线MN一定过椭圆的右（左）焦点。反之，过椭圆右（左）焦点F的直线交椭圆于M、N两点，则直线。 A1M、A2N的交点P在椭圆的右（左）准线上。⑤ 设A1、A2是椭圆的左、右顶点，B1、B2是椭圆的上、下顶点，P是椭圆上异于顶点的任一点，则kPA1?kPA2?kPB1?kPB2b2??2为定值。 a一般地，设过椭圆中心的直线交椭圆于M、N两点，P是椭圆上异于M、N的任一b2点，则kPM?kPN??2为定值。 a⑥ 存在以坐标原点O为圆心的圆，使得圆的任一切线与椭圆交于P, Q两点，满足22abOP?OQ，且圆的方程为x2?y2?22；反之，若OP?OQ，则O点到直线a?bbabPQ的距离为定值. 当kPQ??时，|PQ|取得最大值a2?b2；当kPQ?022aa?b或PQ?x轴时，|PQ|取得最小值2aba?b22。. ⑦ 设ABCD是椭圆的内接矩形，则矩形ABCD的最大面积为2ab. ?2?PFF⑧已知点P在椭圆上，设?F1PF2??，则焦点三角形12的面积S?btan。 2
22xy2. 双曲线2?2?1?a?0,b?0?的补充性质（在解双曲线问题时常遇到）： ab① 平行于渐近线（斜率为?b）的任一条直线与双曲线有唯一交点. a②若斜率为k的直线与双曲线的两支各交于一点，则?线的同一支相交于两点，则k??bb反之也成立）. 或k?（在??0的前提下，aa。a2b2③双曲线上任一点到两条渐近线的距离的乘积为定值2 a?b2.2b2.④当焦点弦AB?x轴时，AB?是同一支上所有焦点弦中的最短者。 a，bb?k?，若直线只与双曲aa?2?PFF?PFF⑤在焦点三角形设?F1PF2??，则焦点三角形 12中，12的面积S?bcot2⑥设P是双曲线右（左）支上任一点，则?PF1F2的内切圆与x轴的切点为双曲线的右（左）顶点。 22x2y2yx⑦双曲线2?2?1?a?0,b?0?和2?2?1?a?0,b?0?称为共轭双曲线 abba共轭双曲线的性质：⑴渐近线相同； ⑵ 12?12?1e1e2
3.抛物线的常用性质（常在解题中遇到）：
p?的直线交C于（1）抛物线的焦点性质：已知抛物线C：y2?2px，过焦点F?,0??2??两点A(x1,y1),B(x2,y2)，分别过A,B作准线l的垂线，垂足分别为A1,B1，设直线AB的倾斜角为?，则： lA1A EF p2① x1x2?，y1y2??p2. 4② AB?x1?x2?p. ?OB1B 2p?③ AB?2，当??时，AB的最小值为2p。 2sin?④ 112?? AFBFp.⑤ A,O,B1三点共线；A1,O,B三点共线。 ⑥ 以AB为直径的圆与直线l相切。 ⑦ 以A1B1为直径的圆过焦点F。 （2）抛物线的补充性质： ????????⑴ 设A、B是抛物线y?2px(p?0)上两动点，且满足OA?OB，（O为坐标原点），2则直线AB经过x轴上的定点M(2p,0)。反之，也成立。 2⑵设抛物线y?2px(p?0)的准线l交x轴于点E，过E点的直线交抛物线于A,B两点，A?是点A关于x轴的对称点，则直线A?B过抛物线的焦点F. 2⑶过x轴上的定点M(m,0)的直线l与抛物线y?2px(p?0) 交于两点。 A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2?m2,y1y2??2pm（定值）2⑷（抛物线的切线）设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2?0)是抛物线x?2py(p?0)上两动点，分别过A、B两点作抛物线的切线相交于点M?x0,y0?，则有： x1x12x2x22①切线AM、BM的方程分别为：y?x?。 、y?x?p2pp2px1?x2?x??02，即M?②切线的交点坐标为：?????y0?x1x22p??x1?x2x1x2?。 ,?22p?③直线AB的斜率为：kAB?x0。 p④若直线AB与y轴交于点P(0，a)，则M(x0,?a)。
二、圆锥曲线常见题型及解题思路方法。
1. 求圆锥曲线的标准方程 先判断焦点的位置，设出相应圆锥曲线的方程，再根据已知条件和圆锥曲线的性质列方程（组）（如求椭圆方程，就是根据条件和性质列出关于a、b、c的方程组），求出待定参数。在解方程（组）求a，b时，要注意考题中经常出现的几种方程的形式，对于复杂的方程（组），常常是观察——猜想——验证，得出a，b的值。 2. 求椭圆（或双曲线）的离心率或离心率的取值范围 c求离心率就是根据条件和圆锥曲线的性质，寻找a、b、c之间的等量关系，求出acc?b??b?的值。在椭圆中，有：e???1???；在双曲线中，有：e???1???。能aa?a??a?22b求出，也就求得了离心率。在双曲线中，还要注意渐近线与离心率的关系。 a求离心率的取值范围就是根据条件和圆锥曲线的性质寻找a、b、c之间的不等关系。关于不等式的来源，通常是依据已知不等式，同时还要注意圆锥曲线中几个常用的不等关系：①圆锥曲线上点的坐标的范围；②在椭圆中，有?F，1BF2??F1PF2（其中B为短轴的端点，P为椭圆上任一点）a?c?PFi?a?c(i?1,2)；③在双曲线中，有PF?AF（其中F为焦点， P为双曲线上任一点，A是同一支双曲线的顶点）。 解这类问题时，要尽可能地结合图形，依据定义，多从几何角度思考问题。如果涉及直线与圆锥曲线位置关系问题，还要联立方程，用坐标法找关系。 3. 在圆锥曲线中判断点与圆的位置关系 除常规方法外（比较点到圆心的距离与半径的大小），通常用向量法。例如，已知直线与圆锥曲线交于A、B两点，要判断点P与以AB为直径的圆的位置关????????系，只需确定?APB的大小，通过计算PA?PB，确定其符号。 4. 证明定点，定值，定直线问题 可先取参数的特殊值（或图形的特殊位置），对定点，定值，定直线进行探求，然后证明当参数变化时，结论成立。 证明直线过定点，有两种思路：①求出满足条件的动直线方程（只含一个参数），再根据方程求出定点；②先探求定点，再设出要证明的定点的坐标（如设动直线与x轴交于点(m,0)），把坐标表示出来，表示式中，往往会含有，用所求得的结果代入，就可得出坐标为定值。 x1?x2,x1x2（或y1?y2,y1y2）证明定点、定值、定直线问题，还可利用圆锥曲线中定点、定值、定直线的性质，将问题进行转化。 5. 直线与圆锥曲线的位置关系问题 这类问题是平面解析几何中的重点问题，常涉及直线和圆锥曲线交点的判断，弦长，面积，对称，共线等问题 处理问题的基本方法有两种：