【解】（1）当直线l的斜率不存在时，P,Q两点关于x轴对称，则x1?x2,y1??y2， 6x12y12??1，而S?OPQ?x1y1?由P?x1,y1?在椭圆上，则， 232则x1?6,y1?1，于是x12?x22?3，y12?y22?2. 2x2y2?1可得 当直线l的斜率存在，设直线l为y?kx?m，代入?322x2?3(kx?m)2?6，即(2?3k2)x2?6km?3m2?6?0， 则??0，即3k2?2?m2， 6km3m2?6,x1x2?又由韦达定理，可得：x1?x2?? 222?3k2?3k于是PQ?1?kx1?x2?1?k又有：d?m1?k222263k2?2?m2(x1?x2)?4x1x2?1?k 22?3k22，所以S?POQ11263k2?2?m26??d?PQ?m? 2222?3k2则3k2?2?2m2，满足??0 26km3(m?2)2x12?x22?(x1?x2)2?2x1x2?(?)?2??3， 222?3k2?3k222y12?y22?(3?x12)?(3?x22)?4?(x12?x22)?2， 333综上可知x12?x22?3，y12?y22?2. （2）当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知OM?PQ?x1?PQ?当直线l的斜率存在时，由（Ⅰ）知x1?x23k??， 22m6?2?6; 2?3k1?y1?y2x1?x23k21,? ?k()?m???m?，即M??2mm??222mm9k2111om???(3?)所以222 4mm2m222224(3k?2?m)2(2m?1)1??2(2?) 又PQ?(1?k2)(2?3k2)2m2m22所以OM2PQ?(3?21125)(2?)≤， m2m24当且仅当3?11?2?，即m??2时等号成立， 22mm5。 2综上可知OM?PQ的最大值为（3）假设椭圆上存在三点D、E、G，使得S?ODE?S?ODG?S?OEG?由（Ⅰ）知：xD2?xE2?3,xE2?xG2?3,xG2?xD2?3， 6， 2yD2?yE2?2,yE2?yG2?2,yG2?yD2?2. 解得xD2?xE2?xG2?3，yD2?yE2?yG2?1。 26中选取，yD、yE、yG只能从?1中选取， 2因此xD、xE、xG只能从???6,?1?中选取三个不同点， 因此D、E、G只能从???2?而这三点的两两连线必有一个过原点，这与S?ODE?S?ODG?S?OEG?故椭圆上不存在三点D、E、G，使得S?ODE?S?ODG?S?OEG?6。 26相矛盾 2
【专题演练之基本训练题】
1．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 x22
2．设F1、F2为椭圆4＋y＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q→1·→2的值等于（ ） 两点，当四边形PF1QF2面积最大时，PFPF
A．0 B．2 C．4 D．－2 x2y2
3．（2009年高考浙江卷）已知椭圆a2＋b2＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y→＝2PB→，则椭圆的离心率是（ ） 轴于点P. 若AP
3211
A.2 B.2 C.3 D.2 x2y2
4．（2010年长沙模拟）已知F1，F2分别为椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围为（ ）
A．(0，2－1) B．(0，3－1) C．(2－1,1) D．(3－1,1) 5. B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，|PF1|
若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则|OB|的值是（ ）
2
232A.2 B.2 C.2 D.3
x2y2
6．（2009年高考全国卷Ⅱ）双曲线6－3＝1的渐近线与圆（x－3）2＋y2＝r2（r＞0）相切，则r ＝（ ）
A.3 B．2 C．3 D．6
x2y2
7．（2009年高考江西卷）设F1和F2为双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若
F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） 35
A. 2 B．2 C. 2 D．3 x2y2
8．设P是双曲线22－b2＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2
分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|等于（ ）
A．1或5 B．6 C．7 D．9 5
9. （2009年高考山东卷）设椭圆C1的离心率为13，焦点在x轴上且长轴长为26，
若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2
A. 42－32＝1 B. 132－52＝1 C. 32－42＝1 D. 132－122＝1
2y
10．过双曲线M：x2－b2＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条
渐近线分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是（ ） 105
A. 10 B. 5 C. 3 D. 2 11．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
17157
A. 16 B. 16 C. 8 D．0 12．（2009年高考北京卷）若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则
点P的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 13．抛物线
y2＝4x
π
的焦点为F，过F且倾斜角等于3的直线与抛物线在x轴上方的曲线
交于点A，则AF的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
14．如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（ ） A．y2＝
39222＝3x x B．y＝9x C．y＝x D．y2215．直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，分别
从A，B两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A1，B1，则∠A1FB1是（ ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．直角或钝角 x2y2
16．F1、F2是椭圆a2＋9＝1的左、右两焦点，P为椭圆的一个顶点，若△PF1F2是等边
三角形，则a2＝________.
17．已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________． x2y2
18．（2009年高考北京卷）椭圆9＋2＝1的焦点为F1、F2，点P在椭
圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________． x2y219．（2010年高考湖南卷）过双曲线C：a2－b2＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
x2y220．（2009年高考海南、宁夏卷）设双曲线9－16＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________． 21. （2008年高考江西卷）过抛物线x2＝2py（p>0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，
|AF|
与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则|FB|＝________.
【答案】：1. A2. D3. D4. A5. B 6. A7. B8. C9. A10. A 11. B12. D13. B14. D15. B16. 12; 17.2－1; 321 18. 2、 120°；19. 2；20.15；21. 3