35即直线l：x?y??0或x?y??0。 22?x22?y?1??4?5x2?12x?5?0， 联立??x?y?3?0?2?x23因为??44?0，所以直线x?y??0与椭圆?y2?1有两个交点。 42?x22?y?1??4?5x2?20x?21?0， 联立??x?y?5?0?2?x25因为???20?0，所以直线x?y??0与椭圆?y2?1没有交点。 42综上，满足条件的点T存在，且有两个。
x2?y2?1的左、右分别为A【例13】（2010 广东 T 20）已知双曲线1,A2，点2P(x1,y1)、Q(x1,?y1)是双曲线上两个不同的动点。
（1）求直线A1P与直线A2Q的交点E的轨迹方程。
（2）若过点H（0，h）（h> 1）的两条直线l1、l2与（1）中的轨迹都只有一个交点，
且l1?l2，求h的值。
【解】（1）由已知：A1(?2,0),A2(2,0)，设E（x，y） 直线A1P的方程为：y?y1(x?2)???① x1?2?y1(x?2)???② 直线A2Q的方程为：y?x1?22?y1①?②得：y?2(x2?2)。 x1?22x12x2222?y1?1，即x1?2?2y1，故有：?y2?1。 由已知：22因为P(x1,y1)、Q(x1,?y1)是双曲线上两个不同的动点， 所以P(x1,y1)、Q(x1,?y1)不与双曲线的左右顶点重合， 所以x??2， 又当x = 0时，直线A1E与直线A2E分别与双曲线的两条渐近线平行， 此时P、Q不可能在双曲线上，所以x?0。 x2故E点的轨迹方程为?y2?1（x??2，x?0） 2（2）设直线l1、l2的方程分别为l1:y?k1x?h、l2:y?k2x?h（h> 1） 因为l1?l2，所以k1k2??1。 当直线l1、l2与点E的轨迹都只有一个交点时，直线l1、l2的位置有以下3种情况： x2①直线l1、l2都与椭圆?y2?1相切： 2?y?k1x?h?222?(1?2k)x?4khx?2h?2?0， 联立?x2112??y?1?22h?12222??(4kh)?4(1?2k)(2h?2)?0?k?于是有， 1112h2?1h2?1?1， 同理可得：k?。因为k1k2??1，所以2222又h > 1，故求得：h?3。 x2②直线l1、l2中有一条与椭圆?y2?1相切，有一条经过左（右）顶点：2x2不妨设直线l1与椭圆?y2?1相切，直线l2过右顶点， 2hh2?1hh2?1?1， 则有k1?，k2??，因为k1k2??1，所以2221?17又h > 1，故求得：h?。 2③直线l1、l2分别经过左、右顶点： h?h?hh???则有k1?，k2??。于是有???1， 222?2?又h > 1，故求得：h?2。 综上，满足条件的h的值为：3或
1?17或2。 2【例14】（全国高考题）如图，A,B是抛物线y?x2上两个动点，且AB?a（a?0为
常数），求下列两种情况下线段AB的中点M 到x轴的最短距离
A OM?B (1)a?1 (2)0?a?1 【解】设直线AB的方程为：y?kx?b，且设Ax1,y1,Bx2,y2 ?????y?kx?b12y则M到x轴的距离d??y1?y2?，联立?消去，得: x?kx?b?0 22?y?x则有x1?x2?k,x1x2??b，从而y1?y2?k2?2b 所以AB?1?k??x1?x2??4x1x2?1?k2?k2?4b?a 22a2k2?k2a2k21?a2求得：b?。所以 2???d?b????1?k??12??24?1?k?424?4?1?k2?41?k?????令t?1?k22?1a ?t?1?，则d??t??1??4?t?2a（1）当a?1时，t??2a. 当且仅当tt?a时取等号，所以dmin?2a?1 4a2（2）当0?a?1时，函数t?在?1,??上递增， ?t?所以当t?1，即k?0时，d取得最小值且dmin?12a 4、【例15】已知直线l过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F，交抛物线与A,，B两点，C
是抛物线的准线上任一点
（1）证明：?ACB不可能为钝角
（2）是否存在这样的点C，使得?ABC为正三角形？若存在，求点C的坐标，若不存
在，说明理由。
【解】（1）设直线AB的方程为x?ky?p?p?，且设A(x1,y1),B(x2,y2),C??,y0?，2?2?p?22x?ky?y?2pky?p?0。 联立?，消去x得：2??y2?2px?于是有：y1?y2?2pk，y1?y2??p2， 2p从而有：x1?x2?2pk2?p，x1?x2?， 4????????pp易知CA?(x1?,y1?y0)，CB?(x2?,y2?y0)， 22????????pp所以CA?CB?(x1?)(x2?)?(y1?y0)(y2?y0) 22pp22 ?x1?x2?（x1?x2）++y1?y2?y0(y1?y2)?y0242p2pp2??（2pk2?p)+??p2?y0?2pk?y0?(pk?y0)2?0。 424又??(?2pk)2?4p2?0，即方程y2?2pky?p2?0有两个不等实根， ?????????所以CA、CB不重合，故?ACB为锐角或直角，不可能为钝角。 【另证】由抛物线的性质可知：以焦点弦AB为直径的圆一定和抛物线的准线相切，而点C为准线上任一点，所以点C在圆外或圆上，故?ACB为锐角或直角，不可能为钝角。 p?，使得?ABC为正三角形。 （2）假设抛物线的准线上存在点C??,y?0??2?取AB的中点D，则CD?AB，且|CD|=3|AB|。 2pk?y0?2p?,pk?，从而kCD?2由（1）可得：D?pk?， 2pk?p??由CD?AB得：kCD?kAB??1，即pk?y013???1?y?pk?2pk，所以02pk?pk?p?C??,pk3?2pk?。于是|CD|?(pk2?p)2?(pk3?pk)2?p(k2?1)3， ?2?易知AB|?x1?x2?p?2pk2?2p?2p(k2?1)。 由|CD|=33?2p(k2?1)?k??2， |AB|得：p(k2?1)3?22所以C???p?,?42p?。 ?2??p?,?42p?，使得?ABC为正三角形 故抛物线的准线上存在点C???2?
【例16】）（2011年青岛市高三第2次模拟考试）
（1）已知动点P(x,y)到点F(0,1)与到直线y??1的距离相等，求点P的轨
迹L的方程；
B(x2,y2)，C(x3,y3)(x1?0≤x2?x3)（2）若正方形ABCD的三个顶点A(x1,y1)，
在（1）中的曲线L上，设直线BC的斜率为k，l?|BC|，求l关于k的函数解析式l?f(k)；
（3）求（2）中正方形ABCD的面积S的最小值．
【解】（1）由题设可得动点P的轨迹方程为x2?4y． 2x2(k?0)， （2）由（1），可设直线BC的方程为：y?k(x?x2)?42?x2y?k(x?x2)?22x?4kx?4kx?x联立?消去y得：422?0 ??x2?4y?易知x2、x3为该方程的两个根，故有x2?x3?4k，得x3?4k?x2，