【高考真题、模拟题解析】
【例1】（2010 安徽）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1,F2在x轴
上，离心率e=12
（1）求椭圆E的方程；
（2）求DF1AF2的角平分线所在直线的方程。
x2y2【解】（1）设椭圆E的方程为2?2?1（a?b?0) ab由e?1c1,即?,a?2c,得:b2?a2?c2?3c2,： 2a2x2y2椭圆方程形式2?2?1 4c3c13将A（2 ，3）代入上式，得：2?2?1,解得:c?2, ccx2y2∴椭圆E的方程为.??1 1612（I2）由（I）知F1(?2,0),F2(2,0)， ?设?F1AF2的角平分线所在直线的方向向量为a， ??????????????????AF1AF2?则a???????????????(??0)。易知AF1?(?4,?3)，AF2?(0,?3)， ?|AF1||AF2|?????????AF1?43?AF2所以????????,??，??????(0,?1)， 5?|AF2||AF1|?5??????????AF1AF2??48????????????故a????????,???。 5??|AF1||AF2|??5所以?F1AF2的角平分线所在直线的斜率为k = 2， 故所求直线为：y?3?2(x?2)，即2x?y?1?0。 ?????????????OAOB?【注】若OC平分?AOB，则OC????????????????0?
?OAOB?
【例2】（2010 北京）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-，离2,0)，(2,0)，
6心率是，直线y=t与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径
3作圆P，圆心为P。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（3）设Q(x,y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值.
c6【解】（1）因为?，且c?2，所以a?3,b?a2?c2?1 a3 x2所以椭圆C的方程为?y2?1. 3?y?t（2）由题意知p(0,t)(?1?t?1).由? ?x22??y?1?3得：x??3(1?t2) 所以圆P的半径为3(1?t2)。 由已知得：3(1-t2)=t ?33?解得t??. 所以点P的坐标是（?0,??。 22??（3）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2?(y?t)2?3(1?t2)。 因为点Q(x,y)在圆P上，所以y?t?3(1?t2)?x2?t?3(1?t2) 设t?cos?,??(0,)，则t?3(1?t)?cos??3sin??2sin(???2?62) 当???3，即t?1，且x?0，y取最大值2． 2【注】对于形如y?x?m1?x2(0?x?1)的函数，可采用三角代换法求最值，令
2??msin??m?1si?n(??，)于是有：x?cos?(0???)，则y?cos2?ymax?m2?1。
【例3】（2010 江西）如图，已知抛物线C1：x2+by=b2经过椭圆C2：
x2y2+2=1(a＞b＞0)的两个焦点． 2ab（1）求椭圆C2的离心率；
（2）设点Q(3,b)，又M、N为C1与C2不在
y轴上的两个交点，若DQMN的重心在
抛物线C1上，求C1和C2的方程．
【解】（1）因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0)， 所以c2+b?0b2,即c2=b2， 2． 2由a2=b2+c2=2c2，所以椭圆C2的离心率e=22x2y2（2）由（1）可知：a=2b，所以椭圆C2的方程为：2+2=1 2bb22ì?x+by=b??222联立íx2得:2y-by-b=0 y?+2=1?2?b??2b6bx=?b， 解得：y=-，所以或y=b（舍去）22??66b?b?b,??,N?b,?? 即M???22??22?所以△QMN的重心坐标为（1，0）， 因为重心在C1上，所以12+b?0b2,得:b=1,所以a2=2. 2x所以抛物线C1的方程为：x2+y=1，椭圆C2的方程为：+y2=1. 2【注】联立椭圆方程与其它方程时，为方便运算起见，通常要简化椭圆方程。如已知
离心率或者已知a、b、c中的一个，则椭圆方程可化为只含一个参数的方程。
x2y2【例4】（2010 辽宁）设F1，F2分别为椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点，
ab过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为23．
（1）求椭圆C的焦距；
uuuruuur（2）如果AF2=2F2B，求椭圆C的方程． 【解】（1）设焦距为2c，直线l的方程为y=由已知可得： F1到直线l的距离为d = 所以椭圆C的焦距为4． （2）设A(x1,y1),B(x2,y2)， 3(-c-c)=23?2c2. 3(x-c) x2y2?2?1， 由（1）知：椭圆C的方程可化为2b?4b直线l的方程为y=3(x-2). ?y?3(x?2),?联立?x2y2?2?1?2， ?b?4b2224消去x，得：(4b?12)y?43by?3b?0 uuuruuur因为AF2=2F2B,所以-y1=2y2???③ ??3b2y1?y2?2???①??b?3 ?由韦达定理得：4?y?y??3b???②12?4b2?12?从①②③中消去y1、y2，求得：b2=5。 x2y2=1. 故椭圆C的方程为+95 【注】题目中的向量条件往往转化为坐标之间的关系。
【例5】已知直线x＋ky－3＝0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C
上的点到点F的最大距离为8. （1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：m x＋n y＝1.试证明：当点P(m，n)在椭
圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．
【解】（1）由x＋ky－3＝0得，（x－3）＋ky＝0，所以直线过定点（3，0）， x2y2即F（3，0）．设椭圆C的方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)， c＝3??则?a＋c＝8??a2＝b2＋c2， a＝5，??解得：?b＝4，??c＝3. x2y2故所求椭圆C的方程为25＋16＝1. m2n2（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以25＋16＝1. 从而圆心O到直线l的距离 1d＝＝m2＋n21122m＋16(1－25m)＝19225m＋16＜1. 所以直线l与圆O恒相交．直线l被圆O截得的弦长为 L＝2r2－d2＝2 11－2＝2m＋n21－91， 2＋16m25由于0 ≤ m 2 ≤ 25，而L关于m 2递增，所以15462 ≤ L ≤ 5， 1546即L∈[2，5]，