1546即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[2，5]．
【例6】（湖北高考题）已知A(-2,0),B(2,0)是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异
于点A、B的动点，且DAPB的最大面积为23。
（1）求椭圆C的方程。
（2）直线AP与椭圆在B点处的切线交于点D，当点P运动时，试判断直线PF（F为
椭圆C的右焦点）与以线段BD为直径的圆的位置关系，证明你的结论。
（3）设椭圆C的右准线为l，直线AP与准线l交于点M，直线BM与椭圆C交于点Q，
试判断点B与以PQ为直径的圆的位置关系，并证明你的结论。
x2y2?1。 【解】（1）椭圆C的方程为：?43（2）由（1）得：F(1,0)。设直线AP的方程为：y=k(x+2)，则有：D(2,4k)。 于是以BD为直径的圆E的圆心为E(2,2k)，半径为r=2k。 ?y?k(x?2)?联立?x2y2，消去x，得：(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0， ?1??3?4由韦达定理得：(-2)?xP6?8k216k2-12，所以xP?， 223?4k3+4k?6?8k212k?12kP,从而有：yP=k(xP+2)=，即。 ?22?23?4k?3+4k?3?4k①若xP=1，则有k=?1，圆E的圆心为E(2,±1)，半径r=1， 2显然有直线PF与以BD为直径的圆E相切。 ②若xP11，即k贡1，则有kPF212k24k3+4k， ==226-8k1-4k-123+4k所以直线PF的方程为y=4k(x-1)。 21-4k于是圆心E到直线PF的距离为 4k-2k21-4k骣4k÷÷1+??2÷?桫1-4k2d==2k+8k316k4+8k2+1=2k(1+4k2)4k+12=2k=r。 所以直线PF与以BD为直径的圆E相切。 综上，当点P运动时，直线PF与以BD为直径的圆E相切。 （3）由（1）知：椭圆的右准线为x=4，所以M(4,6k) ?6?8k212k?,由（2）知：P?，又B(2,0) 22?3?4k??3?4k??????16k212k?uuur,于是BP??，BM=(2,6k)， 22??3?4k3?4k???????????32k272k240k2???0，所以DPBM为锐角， 所以BP?BM?2223?4k3?4k3?4k从而DPBQ为钝角，故点B在以PQ为直径的圆的内部。 【注】在圆锥曲线中判断点与圆的位置关系，常采用向量法。
x2y2【例7】（2011 杭州三模）已知A，B是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左，右顶点，
ab过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线x?4于点P， B(2,0)，
且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列， R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横 坐标之和为2，RQ的中垂线交x轴于T点。 （1）求椭圆C的方程；
（2）求三角形MNT的面积的最大值
【解】（1）由已知：b = 2，设P（4，y0），则kPAy0y0y0?,kPF?,kPB?, 64?c2又由已知：2kPF?kPA?kPB，即2y0yy?0?0?c?1，从而b?3。 4?c62x2y2?1 所以椭圆C的方程为?43?xQ2yQ2??1?yQ?yR3xQ?xR?43（2）因为点Q、R在椭圆上，所以? ????22xQ?xR4yQ?yR?xR?yR?1?3?4yQ?yR??3即kRQ??，由已知，线段QR的中点坐标为?1,?， 2??2(yQ?yR)yQ?yR2(yQ?yR)?(x?1)， 所以线段QR的中垂线方程为，y?231?1?T,0令y?0，得：x?，所以RQ的中垂线交x轴的交点为?? 4?4?13设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则S?MNT=TFy1?y2?y1?y2 28设直线MN:x?my?1，与椭圆联立可得: (3m2?4)y2?6my?9?0 2236m36m?12|y1?y2|???144 222(3m?4)3m?4(3m2?4)2t122y?y?144??144?t?m?1?1令，则1 21(3t?1)29t??6t1函数f(t)?9t?在区间[1,??)上单调递减，所以f(t)min?f(1)?10 t1392从而y1?y2max?144??9，故?S?MNT?max??3? 1688
x22【例8】（2011山东?文22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:?y?1.如图
3所示，斜率为k(k＞0)且不过原点的直线l交椭圆
C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE
D G -3 B y lA 交椭圆C于点G，交直线x??3于点D(?3,m).
22（1）求m?k的最小值；
x （2）若OG?OD?
2OE，①求证：直线l过定点；②试问点B，G能否关于x
轴对称？若能，求出此时?ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.
【解】（1）由题意:设直线l:y?kx?n(n?0), ?y?kx?n?2222(1?3k)x?6knx?3n?3?0, 由?x消去y，得: 2?y?1??3设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点E(x0,y0), ?6kn则由韦达定理得: x1?x2=, 21?3k?3knn?3knx?y?kx?n??k?n?即0,, 01?3k201?3k21?3k2所以中点E的坐标为E(?3knn,)2,2 1?3k1?3k1m?KOD，即???， 3k3因为O、E、D三点在同一直线上，所以kOE解得m?2112，所以m2?k2=2?k?2,当且仅当k?1时取等号, kk2即m?k的最小值为2. m（2）①由题意知：m > 0，直线OD的方程为y??x, 3m?y??x??3m2所以由?x2得交点G的纵坐标为yG?, 2m?3??y2?1??3易知：yE?2n2，yD?m， 1?3km2n?m?因为|OG|?|OE|?|OD|，所以有：2, m?31?3k2又由（Ⅰ）知: m?1，所以k?n，于是直线l的方程为l:y?kx?k, k即有l:y?k(x?1)，所以直线l过定点（-1，0）.②假设点B，G能关于x轴对称。则有xB?xG,yB? yG。 那么?ABG的外接圆的圆心在x轴上，又在线段AB的中垂线上, 由（i）知：G(?3m?32,mm?32)，所以，B(?3m?32,?mm?32), ?m又因为直线l过定点（-1，0），所以直线l的斜率为m2?3?k， ?3?12m?3?1， 1)， 4又因为k?122，所以有：m?3?3?m，解得m2m?3从而有n?1，由于m?0，所以k = 1，m = 1，E(,42从而AB的中垂线方程为2x + 2y + 1 = 0， 1?31(?,0)(,)，所以?ABG外接圆的圆心为，G圆的半径为R = 2221252(x?)?y?所求圆的方程为. 24综上所述, 点B、G能关于x轴对称， 5， 21252此时?ABG的外接圆的方程为(x?)?y?. 24
x2y22【例9】（2010 山东?理21）如图，已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，以该
ab2椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(2?1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于项点的任一点，直线
PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. 1和PF（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，
证明：k1?k2?1；
（3）是否存在常数?，使得AB?CD??AB?CD恒成立？若存在，求?的值；若不
存在，请说明理由.