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（昌平区一模）
22． 现场学习题
问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC
三边的长分别为2、13、17，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
AB图1C图2图3
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上．________ 思维拓展：
25a、(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为2a、26a(a?0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并
求出它的面积是： ． 探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为
4m?n22、16m?n22、2m?n
22(m?0,n?o,m?n) ，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的
面积为： 答案：（1）
52．
（2）
C
A
2 面积：3a． B 图2（3）
4m C n
A2n n m m B面积：3mn． 2 2
K]
图3
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25.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果EF=2OG，求点Ｇ的坐标．
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：解：（1）∵OD平分∠AOC, ∠AOC=90° ∴∠AOD=∠DOC=45°
∵在矩形ABCD中，
∠BAO=∠B=∠BOC=90°,OA=BC=2,AB=OC=3 ∴△AOD是等腰Rt△
∵∠AOE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90° ∴∠AOE=∠BCD ∴△AED≌△BDC ∴AE=DB=1
∴D(2,2),E(0,1),C(3,0)
则过D、E、C三点的抛物线解析式为：
y??56x?2yAEDBOCx136x?1
yF（2）DH⊥OC于点H,
∴∠DHO=90° D1BA∵矩形 ABCD 中, ∠BAO=∠AOC=90° 23∴四边形AOHD是矩形 ∴∠ADH=90°. E∴∠1+∠2=∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3
OGHC∵AD=OA=2，
∴四边形AOHD是正方形. ∴△FAD≌△GHD ∴FA=GH ∴设点 G（x，0）， ∴OG=x，GH=2-x ∵EF=2OG=2x，AE=1， ∴2-x=2x-1， ∴x=1.
∴G(1,0)
(3)由题意可知点P若存在，则必在AB上，假设存在点P使△PCG是等腰三角形 1）当点P为顶点，既 CP=GP时，
易求得P1（2,2），既为点D时，
y此时点Q、与点P1、点D重合，
∴点Q1(2,2)
B 2) 当点C为顶点，既 CP=CG=2时, 易求得P2(3,2) A中国最大的教育门户网站 中考网www.zhongkao.com E xOGCx 中考网www.zhongkao.com
∴直线GP2的解析式：y?x?1
?y?x?1?求交点Q:? 5213y??x?x?1?66?可求的交点（
127,）和（-1，-2） 55∵点Q在第一象限 ∴Q2（
127,） 553)当点G为顶点，既 GP=CG=2时, 易求得P3(1,2) ∴直线GP3的解析式：x?1
?x?1?求交点Q:? 5213x?1?y??x?66?可求的交点（1,∴Q3（1,7373）
）
1277,）、Q3（1,）． 553所以，所求Q点的坐标为Q1(2,2)、Q2（
（朝阳区一模）
12．如图，P为△ABC的边BC上的任意一点，设BC=a， 当B1、C1分别为AB、AC的中点时，B1C1=
12a， 347a，
B1C1C2C3C4A 当B2、C2分别为BB1、CC1的中点时，B2C2= 当B3、C3分别为BB2、CC2的中点时，B3C3=
当B4、C4分别为BB3、CC3的中点时，B4C4=
815a，
16a，
B2B3B4B当B5、C5分别为BB4、CC4的中点时，B5C5=______， ……
当Bn、Cn分别为BBn-1、CCn-1的中点时，则BnCn= ；
设△ABC中BC边上的高为h，则△PBnCn的面积为______(用含a、h的式子表示)． 答案：
3132a,
P(第12题图)
C2?12nna,
2?122n?1nah
25．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，
连接BM.
（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM
的数量关系为 ；
（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成
立，说明理由.
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BEDM图① BDMNCE
A
A图② C
1
分析：由题意知，B5C5∥BC，
可得到BnCn=
12nAB5AB?2?1255，根据相似的性质，可得到B5C5=
3132a， 同理
2?12nna.因为△ABC中BC边上的高为h，所以△PBnCn中BnCn边上的高为
12?2?12nnh，△PBnCn的面积为a?12nh?2?122n?1nah.
答案：(1)BD=2BM. (2)结论成立.
证明:连接DM，过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF， 可证得△MDE≌△MFC ∴DM=FM, DE=FC. ∴AD=ED=FC. 作AN⊥EC于点N.
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°， 可证得∠1=∠2, ∠3=∠4. ∵CF∥ED，∴∠1=∠FCM.
∴∠BCF=∠4+∠FCM =∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD. ∴△BCF≌△BAD. ∴BF=BD，∠5=∠6.
∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°. ∴△DBF是等腰直角三角形. ∵点M是DF的中点， 则△BMD是等腰直角三角形.
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∴BD=2BM.
22．阅读并操作：
如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③).拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1).
图① 图② 图③
请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中.
（1）新图形为平行四边形； （2）新图形为等腰梯形.
答案： 解：
（注：每图2分） （东城区一模） 12. 如图，直线y?33
（1）
（2）
x，点A1坐标为（1，0），
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点
O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点
A3，…，按此做法进行下去，点A4的坐标为
（ ， ）；点An（ ， ）． 答案：
839，0(233)n?1，0
24. 等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于
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