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请你依据此矩形画出正方形.
25. 在Rt△ABC中，?BAC?90?，AB?AC?2，点D在BC所在的直线上运动，作
A ?． ?ADE?45（A，D，E按逆时针方向）（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．
①求证：△ABD∽△DCE；
②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
（2）①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的
反向延长线与AC的延长线相交于点E?，是否存在点D，使△ADE?是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；
②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角
B
第25题图2
E?
?AADB第22题图2
CBC第22题图3
45
?E
C
B
D
第25题图1
形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．
A
A
E
45
?C
D
D
45
?C
B E
第25题图3
答案： ①证明：在Rt△ABC中，∵?BAC?90，AB?AC?2 ∴∠B=∠C=45°又 ∠ADE=45°
∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠DEC=135° ∴∠ADB=∠DEC
∴ △ABD∽△DCE
② 当△ADE是等腰三角形时,分以下三种情况讨论 第一种情况：DE=AE
∵DE=AE
∴∠ADE=∠DAE=45°
∴ ∠AED=90°, 此时，E为AC的中点，
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∴AE=
12AC=1.
第二种情况：AD=AE（D与B重合） AE=2
第三种情况 ：AD=AE
如果AD=DE，由于△ABD∽△DCE， ∴ △ABD≌△DCE,
∴BD=CE,AB=DC,设BD=CE=x
在Rt△ABC中，∵?BAC?90?，AB?AC?2， ∴ BC=22, DC=22－x
∴22－x=2 ,解得，x=22－2 ， ∴ AE= 4 －22 综上所述：AE的值是1，2，4 －22 (2)①存在。
当D在BC的延长线上，且CD=CA时，△ADE?是等腰三角形. 证明：∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′,
∴ ∠ADC+∠EDC=∠EDC+∠DEC=135°, ∴ ∠ADC=∠DEC,又CD=CA ， ∴ ∠CAD=∠CDA , ∴ ∠CAD=∠CED , ∴DA=DE′,
∴ △ADE?是等腰三角形.
②不存在.
因为 ∠ACD=45°＞∠E , ∠ADE=45° ∴∠ADE≠∠E
∴△ADE?不可能是等腰三角形。
（西城区一模）
12. 如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，正方形A1B1C1D1的面积为 ；再把正方形A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形，如此进行下去，正方形AnBnCnDn的面积为 ．（用含A2B2C2D2（如图2）
有n的式子表示，n为正整数）
图1 图2
答案：5，5
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22．我们约定，若一个三角形（记为△A1）是由另一个三角形（记为△A）通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A1是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1，由△A复制出△A1，又由△A1复制出△A2，再由△A2复制出△A3，形成了一个大三角形，记作△B．以下各题中的复制均是由△A开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形（指与△A全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠．
（1）图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现△A∽△B，其相似比为_________．在
图1的基础上继续复制下去得到△C，若△C的一条边上恰有11个小三角形（指有一条边在该边上的小三角形），则△C中含有______个小三角形；
（2）若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是________；
（3）请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出草图，并仿
照图1作出标记．
图1
图2
答案：解：（1）1∶2，121 ． （2）正三角形或正六边形． （3）如图5．
8．如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连结A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝
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图5 中考网www.zhongkao.com
B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连结A2，B2，C2，得到△A2B2C2．…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2011，最少经过（ ）次操作． A．3 答案： B. .
（通州区一模）
12．已知?ABC中，AB?AC?m，?ABC?72?，BB1平分?ABC交
AC于B1，过B1作B1B2//BC交AB于B2，作B2B3平分?AB2B1，
B．4 C．5 D．6
交AC于B3，过B3作B3B4//BC，交AB于B4??依次进行下去，则B9B10线段的长度用含有m的代数式可以表示为 .
?答案：???5?1??m 2??622．问题背景
（1）如图22（1），△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，
过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空： 四边形DBFE的面积S? ，△EFC的面积S1? ，
B 2 D S F A S2 E S1 6 3 C △ADE的面积S2? ． 22（1） 探究发现
（2）在（1）中，若BF?a，FC?b，DE与BC间的距离为h．请证明S2?4S1S2． 拓展迁移
（3）如图22（2），□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若
△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用 ．．答案：(1)四边形DBFE的面积S?2?3?6， △EFC的面积S1?12?6?3?9，
A D SA D B E F G C （2）中的结论求△ABC的面积． 22（2） ．．．．．
△ADE的面积S2?1． (2)根据题意可知：
S?ah，S1?12bh，
B 2 S2E S ?DE∥BC，EF∥AB
?四边形DEFB是平行四边形，?ADE?DE=a ; ?ADE∽?EFC,
F S1 3 C ??EFC,?AED??C22 （1）
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?S2?a? ???S1?b?22?S?ab122S1?ah2bbh22 ?ah2b2?4SS?22?4??ah
22S?4S1S2
(3) 过点G作GH//AB
?由题意可知：四边形DGFE和四边形DGHB都是平行四边形
?DG=BH=EF ?BE=HF
S?GHC?8 S2四边形DGHBS?DBE?S?GHF
?4S?ADG?S?GHC?4?2?8?64
ADG?S?S
四边形DGHB?ABC?8
B?2?8?8?18
HEFC23．已知：矩形纸片ABCD中，AB＝26厘米，BC＝18.5厘米，点E在AD上，且AE＝6
厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图23（1）所示）； 步骤二，过点P作PT⊥AB，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图23（2）所示） （1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE（填“?”、“?”、“?”号）； （2）如图23（3）所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
①当点P在A点时，PT与MN交于点Q1 ，Q1点的坐标是（ ， ）； ②当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q2 ，Q2点的坐标是（ ， ）； ③当PA=12厘米时，在图22（3）中画出MN，PT（不要求写画法），并求出MN与PT的交点Q3的坐标；
（3）点P在运动过程中，PT与MN形成一系列的交点Q1 ，Q2 ，Q3 ，?观察、猜想：
众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．
C
B D (P)E A P M C D T M Q N P C
E
B A B
23（1） 23（2） 23（3） 答案：(1)PQ = QE
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