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点E、F.
（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； （2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，
求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.
图1 图2 图3
答案：（1）△EPF为等边三角形. （2）设BP=x，则CP＝6－x.
由题意可 △BEP的面积为△CFP的面积为
32238x.
2(6?x).
△ABC的面积为93. 设四边形AEPF的面积为y. ∴ y?93?38x?232(6?x)=?2583x?63x?93.
2自变量x的取值范围为3＜x＜6. （3）可证△EBP∽△PCF.
∴
BPCF?BECP.
设BP=x，
则 x(6?x)?8. 解得 x1?4,x2?2. ∴ PE的长为4或23.
（房山区一模）
12．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形， 再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去， 图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n个 四边形的周长为_________________．
（12题图） 答案：2,4(22)
n22．（本小题满分5分）
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小明想把一个三角形拼接成面积与它相等的矩形． 他先进行了如下部分操作，如图1所示： ①取△ABC的边AB、AC的中点D、E，联结DE； ②过点A作AF⊥DE于点F；
（1）请你帮小明完成图1的操作，把△ABC拼接成面积与它相等的矩形．
（2）若把一个三角形通过类似的操作拼接成一个与原三角形面积相等的正方形，那么原三角形的一边与这边上的高之间的数量关系是________________．
（3）在下面所给的网格中画出符合（2）中条件的三角形，并将其拼接成面积与它相等的正方形．
答案：解：（1）
A
①②EDM NF② ①
BC
（2）若要拼接成正方形，原三角形的一边与这一边上的高之间的数量关系是1：2或2：1 （3）画对一种情况的一个图给1分
A①①②A①C②①BD②②C 中国最大的教育门户网站 中考网www.zhongkao.com BD 中考网www.zhongkao.com
或
①A②D①②A①②②D①BCB∴正方形ABCD为所求
C
（丰台区一模）
12．已知在△ABC中，BC=a.如图1，点B1 、C1分别是AB、AC的中点，则线段B1C1的长是_______；
如图2，点B1 、B2 C1 、C2分别是AB 、AC的三等分点，则线段B1C1 + B2C2的值是__________；
，
C、C2、......、Cn分别是AB、AC的（n+1）等分点，则线段如图3, 点B1、B2、......、Bn，1B1C1 + B2C2+??+ BnCn的值是 ______. AAA B1C1B2 C2BB11C1C1B2B图2C2CBn-1BnB图3Cn-1CnCB 答案：
12a,a,
C图112na
25.已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:
（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；
（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；
（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.
C
DC
ABCAB
BAD
D
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图1 图2 图3
答案：解：（1）33；
（2）36?32；
（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，
∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB= a， ∴△CDE为等边三角形， ∴CE=CD.
C
C
B
EAB A E DD
当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE
（燕山区一模）
12．已知：点F在正方形纸片ABCD的边CD上，AB=2，∠FBC=30°（如图1）；沿BF折叠纸片，使点C落在纸片内点C＇处（如图2）；再继续以BC＇为轴折叠纸片，把点A落在纸片上的位置记作A＇（如图3），则点D和A＇之间的距离为_________. A D A D D C＇ F F F A＇ B C B B 图1 图2 图3 答案：6-2
22．将正方形ABCD（如图1）作如下划分：
第1次划分：分别联结正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；
第2次划分：将图2左上角正方形AEMH按上述方法再作划分，得图3，则图3中共有_______个正方形；
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若每次都把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有_______个正方形；
继续划分下去，能否将正方形ABCD划分成有2011个正方形的图形？需说明理由.
A D A H D A H D
E M G E M G
B C B F C B F C 图1 图2 图3
答案：第2次划分，共有9个正方形； 第100次划分后，共有401个正方形；
依题意，第n次划分后，图中共有4n+1个正方形，
而方程4n+1=2011没有整数解，
所以，不能得到2011个正方形.
（延庆区一模）
12．如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为
12
的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其
1边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，?，记第n(n?3) 块纸板
2的周长为Pn，则P4?P3? ；Pn?Pn?1= ．
1?
第12题图 ② ③ ④ ①
n?1?1?答案： , ??8?2?
22．阅读下列材料：根据所给的图形解答下列问题：
? （1）如图1，?ABC中，AB?AC，?BAC?90，
AD?BC于D，把?ABD绕点A旋转，并拼
接成一个正方形,请你在图1中完成这个作图；
第22题图1
? （2）如图2，?ABC中，AB?AC，?BAC?90，请你设计一种与(1)不同方法，
将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形,画出利用这个三角形得
到的正方形； （3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形, 中国最大的教育门户网站 中考网www.zhongkao.com