第三部分 概率论与数理统计
第三章 二维随机变量的联合概率分布
[考试内容]
随机变量的联合分布函数，离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布，连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度，随机变量的独立性和相关性，常见二维随机变量的联合分布，两个及两个以上随机变量简单函数的概率分布。
[考试要求]
1．理解随机变量的联合分布函数的概念和基本性质；
2．理解随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式：离散型联合概率分布和连续型联合概率密度，掌握两个随机变量的联合分布的边缘分布和条件分布；
3．理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握离散型和连续性随机变量独立的条件，理解随机变量的不相关与独立性的关系；
4．掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。
5．会根据两个随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布，会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布。
[命题特点]
本章一般出计算题，近年来二元函数的分布比一元的分布考得更多一些。
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[内容综述]
一、多维随机变量的概念
二维随机变量：随机试验E的样本空间为??{?}，设X?X(?)和Y?Y(?)是定义在?上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量或二维随机变量．（若有
n个定义在?上的随机变量X1?X1(?)，
X2?X2(?)，…Xn?Xn(?)，由它们构成的n维向量(X1,X2,?,Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量）
二、二维随机变量的联合分布函数、联合概率密度的概念与性质 1. 联合分布函数：
F(x,y)?P{?X?x???Y?y?}?P{X?x,Y?y}．
分布函数的基本性质：
1）F(x,y)是关于x或y的非减函数，即
对于固定的y，若x1＜x2，则F（x1，y）≤F（x2，y）； 对于固定的x，若y1＜y2，则F（x，y1）≤F（x，y2）． 2）0≤F(x,y)≤1．
F(x,y)?1；F(??,y)?limF(x,y)?0； 且 F(??,??)?xlim???y???x???F(x,??)?limF(x,y)?0；F(??,??)?limF(x,y)?0．
y???x???y???3）F(x,y)对每个变量右连续，即
F(x,y)?F(x?0,y)，F(x,y)?F(x,y?0)．
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4）根据概率可加性，对于如图任意
(x1,y1),(x2,y2)
P{x1?X?x2,y1?Y?y2}
?P{X?x2,Y?y2}?P{X?x1,Y?y2}
?P{X?x2,Y?y1}?P{X?x1,Y?y1}
?F(x2,y2)?F(x1,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y1)?0．
2. 二维离散型和连续型随机变量的分布：
1）二维离散型随机变量：如果二维随机变量(X,Y)的所有可能的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型的随机变量．其分布律（联合分布律）为
P{X?xi,Y?yj}?Pij,i,j?1,2,?， 满足：① Pij?0； ②
??Pij?1；
i?1j?1??③
F(x,y)?xi?xyi?y?Pij．
?2）二维连续型随机变量：如果对于二维随机变量(X,Y)的分布函数
F(x,y)F(x,y)??，存在非负函数f(x,y)，使对于任意实数
yxx,y有
f(u,v)dudv，则称(X,Y)为连续型的随机变量，函数f(x,y)?????称为(X,Y)的（联合）概率密度． 满足：① f(x,y)?0； ② ??????????f(x,y)dxdy?F(??,??)?1；
?2F(x,y)?f(x,y；) ) ③ 在f(x,y的连续点处有
?x?y④
随机点(X,Y)落在平面区域G内的概率为
P{(X,Y)?G}???f(x,y)dxdy．
G
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三、二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系 1. 边缘分布函数
FX(x)?P?X?x??P{X?x,Y???}?F(x,??)， FY(y)?P?Y?y??P{X???,Y?y}?F(??,y)； 2．二维离散型随机变量的边缘律及分布函数 ?? P{X?xi}??Pij?pi?,i?1,2,?P{Y?yj}?j?1,2,?j?1?Pij?P?j,i?1? FX(x)?F(x,??)?ij??,y)???pijx??p， FY(y)?F(i?xj?1i?1y?j?y；
3．二维连续型随机变量的边缘概率密度
fX(x)??????f(x,y)dy ， fY(y)??????f(x,y)dx．
(联合分布可唯一确定边缘分布，反之未必成立!!!)
四、了解二维随机变量的条件分布
( 这几年考试内容明显增多 ) 1. 条件分布函数
FX|Y(x|y)?P{X?x|Y?y}
称为在条件Y?y下X的条件分布函数；
FY|X(y|x)?P{Y?y|X?x}
称为在条件
X?x下Y的条件分布函数．
2．离散型随机变量的条件分布律
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P{X?xi,Y?yj}Pij P{X?xi|Y?yj}?P{Y?y,i?1,2,?
j}?p?j 称为在条件
Y?yj下X的条件分布函数；
P{Y?yi}j|X?xP{Y?yj,X?xi}?P{X?x?pij?
i}p,j?1,2,i?称为在条件
X?xi下Y的条件分布函数．
3．连续型随机变量的条件概率密度 ff(x,y)X|Y(x|y)?f) 称为在条件Y?y下X的 Y(y条件概率密度；
ff(x,y)Y|X(y|x)?fx) 称为在条件X?x下Y的
X(条件概率密度．
(注意与第一章中条件概率的计算作比较)
五、理解随机变量独立性的概念(相关性)
若对于所有x,y，有
P{X?x,Y?y}?P{X?x}?P{Y?y}，
即
F(x,y)?FX(x)?FY(y)，
则称随机变量X和Y是相互独立的．
相对离散型，X和Y相互独立的充分必要条件是：
P{X?xi,Y?yj}?P{X?xi}?P{Y?yj}，
即
pij?pi??p?j；
相对连续型，X和Y相互独立的充分必要条件是：
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