例5．[2008年，三（22）]设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为
?1,0?y?11P{X?xi}?，(i??1,0,1)，Y的概率密度为fY(y)??，记
0,其它3?Z?X?Y，
（1） 求P{Z?12|X?0}； （2） 求Z的概率密度fZ(z).
P{Z?1,X?0}P{0?Y?1,解：（1）P{Z?122X?0}2|X?0}?P{X?0}?P{X?0} P{Y?1 独立2}?P{X?0}1121＝＝＝＝＝＝P{X?0}?P{Y?2}??0dy?2； （2）设Z的分布函数为F(z)，Z的取值范围是[?1,2]，
当z??1时，F(z)?0； 当z?2时，F(z)?1； 当?1?z?2时，
F(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}
?P{X?Y?z|X??1}P{X??1}
?P{X?Y?z|X?0}P{X??1}
?P{X?Y?z|X?1}P{X?1}
?13?P{Y?z?1}?P{Y?z}?P{Y?z?1}? 21
1??FY(z?1)?FY(z)?FY(z?1)?， 31fZ(z)?F?(z)??FY(z?1)?FY(z)?FY(z?1)??3?11?,?1?z?2 所以
??fY(z?1)?fY(z)?fY(z?1)???33?其它?0,即Z满足区间（－1,2）上的均匀分布.
例6．[2012，一（7）]设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1和4的指数分布，则P{X?Y}?（ ）
1124A
5 B 3 C 5 D 5
解：由独立性可知，联合密度等于边缘密度的乘积：
??e?xx?0???4e?4yf(x,y)?fX(x)?fY(y)??????0x?0????0?????所以 P{X?Y}?
x?0,?x?4y4ey?0???y?0??? y?0???其它?0x?y??f(x,y)dxdy????0???x4e?x?4y1dydx=。
5题型四：二维随机变量函数的分布及概率的计算
例1．已知随机变量X和Y的联合分布为
（X, Y） （0, 0） （0, 1） （1, 0） （1, 1） （2, 0） （2, 1） P
0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15 22
试求：（1）X的边缘分布；（2）X＋Y的概率分布． 解：由已知条件可得
X Y 0 1 pi. 0 0.10 0.15 0.25 1 0.25 0.20 0.45 2 0.15 0.15 0.30 p.j 0.50 0.50 1 所以（1）X的边缘分布为
X
P
0.25 0.45 0.30 0 1 2 （2）X＋Y可取值：0，1，2，3，当X＋Y＝0时，
P{x?y?0}?P{x?0,y?0}?0.10，
当X＋Y＝1，P{x?y?1}?P{\x?1,y?0\?\x?0,y?1\
?P{x?1,y?0}?P{x?0,y?1}?0.25?0.15?0.4，
以此类推，可得X＋Y的概率分布为
X＋Y
P
例2．设随机变量X、Y相互独立，其概率密度分别为
?y?e,1,0?x?1?fX(x)?? ， fY(y)???0,其他?0,0 1 2 3 0.10 0.40 0.35 0.15 y?0y?0 ，
求Z=X＋Y的概率密度．
23
解：因为随机变量X、Y相互独立，利用卷积公式可得
fZ(z)?fX?fY??????fX(x)fY(z?x)dx??1?fY(z?x)dx
01 （作变量代换，令z?x?y，可得）
?z?0?0,z?0?0,?z?z?y???fY(y)dy???edy,0?z?1??1?e?z,0?z?1z?10 ． ?z?(e?1)e?z,z?1??y?edy,z?1??z?1?
例3．设随机变量X、Y相互独立，而且X在（0，1）上均匀分布，Y在（0，2）上均匀分布，求Z1=max{X，Y}，Z2=min{X，Y}的概率密度． 解：由已知，X、Y相互独立，且
x?0?0,??1,0?x?1F(x)?x0?x?1fX(x)???X， ； 0,其他??x?1?1y?0?0,?y?1?,0?x?2F(y)??0?y?2?fY(y)??2Y， ； 2???0,其他y?2??1则有（1）FZ1(z)?P{Z1?z}?P{max{X,Y}?z}?P{X?z,Y?z}
z?0?0,?z?z?0?z?1??P{X?z}P{Y?z}?FX(z)?FY(z)??2?1?z1?z?2 ； ?2?1z?2?
24
从而Z1的概率密度为
?z,0?z?1?1??fZ2(z)?FZ2(z)??,1?z?2 ?2其他??0,；
（2）同理可得
FZ2(z)?P{min{X,Y}?z}??1?[1?FX(z)]?[1?FY(z)]
z?0?1?[1?0]?[1?0],?z?0?0,z?1?[1?z]?[1?],0?z?1?23zz??2?????,0?z?1 ， ?1?[1?1]?[1?z],1?z?2?22z?1??2?1,?1?[1?1]?[1?1],z?2??3??z,0?z?1fZ2(z)?FZ?2(z)??2 ．
?其他?0,
例4．[1999年]设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1) 和N(1,1)，则 ( ) A P(X?Y?0)?11P(X?Y?1)? B
2211C P(X?Y?0)? D P(X?Y?1)?
22解：注意到X?N(?1,?1)，Y?N(?2,?2)，则有
22X?Y?N(?1??2,?12??22)?N(1,2)，
由正态分布的几何图形与性质可知，选（B）.
25