f(x,y)?fX(x)?fY(y)．
应熟练应用随机变量的独立性进行概率计算．
(注意独立与相关的联系与区别)
六、掌握求两个随机变量的函数的分布
( 离散的仍是表上作业法，连续的熟悉下面的几种类型 ) 1．两个随机变量和的分布，即Z fZ(z)???????X?Y的分布
????f(x,z?x)dx??f(z?y,y)dy；
当X和Y相互独立时，
fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx??????fX(z?y)fY(y)dy??fX?fY
?（称为卷积公式） 2．M?max(X,Y)及N?min(X,Y)的分布
X和Y相互独立时，
1）M?max(X,Y)的分布：
?min(X,Y)的分布：
Fmax(z)?P{M?z}?FX(z)FY(z)；
2）NFmin(z)?P{N?z}?1?[1?FX(z)][1?FY(z)]．
七、重点与难点 1．
重点：二维随机变量的概念，二维随机变量的联合分布函数、分布律、
概率密度、独立性、条件概率和边缘分布，二维随机变量的函数的分布及概率密度，特别是Z
?X?Y、M?max(X,Y)、N?min(X,Y)的
6
分布． 2．
难点：已知联合概率密度求联合分布函数、条件概率；已知（X,Y）的
分布求Z?X?Y、M?max(X,Y)、N?min(X,Y)的分布．
3． 一些说明：联合分布函数F(x,y)与联合概率密度f(x,y)中的常数常由
F(x,y)及f(x,y)的各个性质来确定．
求联合分布函数时，首先要定出联合概率密度f(x,y)，再根据
f(x,y)?0的条件及随机变量所满足的不等式等，正确的画出二重积分区
域，将二重积分化为累次积分去计算．
题型一：求二维随机变量的概率分布 题型二：有关条件分布问题 题型三：随机变量的独立性 题型四：二维随机变量函数的分布及概率的计算
题型一：求二维随机变量的概率分布
F(x,y)?P{?X?x???Y?y?}?P{X?x,Y?y}
离散的情形：pij?P{X?xi,Y?yj}?P{?X?xi??Y?yj}
例1．一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，现随机地抽取两次，每次只取一只，考虑两种试验：（1）有放回抽样；（2）不放回抽样，以X、Y分别表示第1次和第2次取出的次品数，试分别就（1）、（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律．
解：因为X和Y的取值都是0和1，故(X，Y)的取值为(0,0)、（0,1）、（1,0）、（1,1）.而取这些值的概率要按放回、不放回抽样两种情况考虑.
7
??
（1）有放回抽样，由乘法定理得
101025P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0|X?0}???，
121236P{X?0,Y?1}?P{X?0}P{Y?1|X?0}?1025??， 12123651,P{X?1,Y?1}?类似可得：P{X?1,Y?0}?； 3636 （2）不放回抽样，由乘法定理得
P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0|X?0}?10915??， 1211221025P{X?0,Y?1}?P{X?0}P{Y?1|X?0}???，
12113351,P{X?1,Y?1}?类似可得：P{X?1,Y?0}?3366X和Y的联合分布律为
X Y 0 1 0 1 25/36 5/36 5/36 1/36 X Y 0 1 0 1 ；
15/22 5/33 5/33 1/66
例2．[2001年]设某班车起点站上客人数服从参数为?(??0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0?p?1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：
（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率； （2）二维随机变量(X，Y)的概率分布．
解：（1）是一个条件概率，即当 X= n时，Y=m的概率：P{Y?m|X?n}，
8
由于下车与否相互独立，Y服从二项分布。
mm?nmP{Y?m|X?n}?Cp(1?p),(?0m?nn,??0,；1 , 所以 n
（2）P{X?n,Y?m}?P{X?n}?P{Y?m|X?n}
?ne??mm?Cnp(1?p)n?m,(0?m?n,n?0,1,2,?)。
n!
111P(A)?,P(B|A)?,P(A|B)?例3．[2004年]设A,B为随机事件，且，
432?1A发生，?1B发生，Y??令： X?? 求：
0A不发生；0B不发生；??（1）二维随机变量(X，Y)的概率分布； （2）X与Y的相关系数．
解：（1） 易见 (X，Y) 的取值为 (0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)，相应概率为
1P{X?1,Y?1}?P(AB)?P(A)P(B|A)?
12，
111P{X?1,Y?0}?P(AB)?P(A)?P(AB)???，
4126P(AB)P{X?0,Y?1}?P(AB)?P(B)?P(AB)??P(AB)
P(A|B)1?2P(AB)?P(AB)?P(AB)?，
121112P{X?0,Y?0}?1????， (联合分布列表略…)
126123 （2） 由联合分布可得边缘分布：
1?1??0?0 X???,Y???，
34145616????
9
于是可得：
113315E(X)?,D(X)???,E(Y)?,D(Y)?，
44416636E(XY)?P{X?1,Y?1}?P(AB)?1， 121111cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)????，
124624 所以 ?XY=
例4．[2009年，三（23）]袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以X，Y，Z分别表示两次取球所得的红球、黑球与白球的个数.
（1） 求P｛X＝1｜Z＝0｝；
（2） 求二维随机变量（X，Y）的概率分布.
11C1C22?P{X?1,Z?0}46?6P{X?1|Z?0}???11解：（1） C3C3P{Z?0}9 ；
6?6cov(X,Y)?D(X)DY()1。
15（2）X可取0，1，2；Y可取0，1，2，共有九种可能性：其联合分布为
1111C3C392C2C312P{X?0,Y?0}???，P{X?0,Y?1}?，
6?6366?63611112C1C3C2C246P{X?0,Y?2}???，P{X?1,Y?0}?，
6?6366?636112C1C24P{X?1,Y?1}??，P{X?1,Y?2}?0
6?63611C1C11P{X?2,Y?0}??，P{X?2,Y?1}?P{X?2,Y?2}?0
6?636
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