?e?x,0?y?xf(x,y)???0,其他 ，
（1）求条件概率密度fY|X(y|x)． （2）求条件概率P{X?1|Y?1}．
解： （1f(y|x)?f(x,y)）由定义知：
Y|XfX(x)，先求边缘密度：
??f???x?x0edyx?0 fX(x)??(x,y)dy????xe?x,x?????0,x?0?0?0,x?0.
fy|x)?f(x,y)??1,0?y?x,从而
Y|X(fx)???xX(?0,其他； P{X?11?????f(x,y)dx
（2）P{X?1|Y?1}??1,Y?1}P{Y?1}??1??fY(y)dy， 而Y的边缘密度为：
f????f(x,y)dx??????ye?xdxy?0??e?y,y?0Y(y)?????0,y?0??0,y?0，11f(x,y所以：P{X?1|Y?1}???????)dx?1(y)dy
??fY??10dx?x0e?xdy?1?2e?1e?2?1?y1?e?1?e?1。 0edy
16
例4．[2010年]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f(x,y)?Ae?2x2?2xy?y2,(???x???,???y???)，
求常数A及条件概率密度fY|X(y|x)． 解： 利用正态分布的概率密度积分为1计算A。( 凑 ) ??)2 即 1????1?(t2?2??2??edt，
1??????y)dxdy=A??????2x2?2xy?y2?????f(x,?????edxdy
?A????x2??edx???e?(x?y)2??dy(y?x)2??A????x2dx????2(12)2dy?A?????x2??e??1e2???edx
2?x2?A?????e2(1)22??dx?A?2?1，
21 所以
A??；
??1又
fX(x)??????f(x,y)dy?????e?x2?e?(y?x)2dy
(y?x)2?1?x2????e2(12)2?e???1dy?1e?x22??；2 17
1f(x,y)?e?2x2?2xy?y2f 所以
Y|X(y|x)?f)?X(x1x2
?e??1e?x2?2xy?y2 ??1?e?(y?x)2.
题型三：随机变量的独立性
P{X?x,Y?y}?P{X?x}?P{Y?y}，
F(x,y)?FX(x)?FY(y)，
离散：P{X?xi,Y?yj}?P{X?xi}?P{Y?yj}，pij?pi??p?j；
连续：f(x,y)?fX(x)?fY(y)．
例1．设随机变量X与Y相互独立且有相同分布，
P{X??1}?P{Y??1}?12,P{X?1}?P{Y?1}?12，
则下列各式成立的是（ ）
A P{X?Y}?12； B P{X?Y}?1；
C P{X?Y?0}?14； D P{X?Y?1}?14. 解：考察（A）：
18
P{X?Y}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}?P{X??1}P{Y??1}?P{X?1}P{Y?1}11111?????22222所以选（A）.
例2．[2005，一（6）]设随机变量X与Y的
概率分布如表，已知随机事件{X?0}，
X 0 1 Y
0 0.4 b 1 a 0.1 {X?Y?1}独立，则
A a?0.2,b?0.3； B a?0.4,b?0.1；
C a?0.3,b?0.2； D a?0.1,b?0.4.
解：由联合分布律性质：0.4?a?b?0.1?1，?a?b?0.5；
再利用独立性讨论：
P(X?0,X?Y?1)?P(X?0)?P(X?Y?1)
所以:
P(X?0,Y?1)?P(X?0)??P(X?0,Y?1)?P(X?1,Y?0)?
所以：a?(0.4?a)?(a?b)?0.5(0.4?a)?0.2?0.5a?a?0.4,b?0.1， 所以选（B）.
例3．[2007，一（10）]设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的分布密度，则在Y?y条件下，X的概率密度fX|Y(x|y)为（ ）
fX(x)A fX(x)； B fY(y)； C fX(x)?fY(y)； D .
fY(y)解：注意不相关与独立的关系；独立一定不相关；但在一般情况下，不相关未
19
必独立；例外：在二维正态分布下，不相关?独立。
f(x,y)fX(x)?fY(y)??fX(x) 所以本题中：fX|Y(x|y)?fY(y)fY(y)答案选A。
例4．[2003，四]设随机变量X和Y都服从正态分布，且X与Y不相关，则（ ）
A X与Y一定独立； B （X，Y）服从二维正态分布； C X与Y未必独立； D X+Y服从一维正态分布.
解：由于不知（X，Y）的联合分布是否为二维正态分布，所以不能从X与Y不相关来判定X与Y是否独立!!!!!! 相反，如果X与Y独立，则B，D均成立。
答案选C。
例5．二维随机变量（X，Y）的分布密度
?3x,f(x,y)???0,0?x?1,0?y?x,
其他.求（1）X与Y边缘概率密度；（2）X，Y是否独立． 解：（1）如图， 当0?x?1时，0?y?x，故有
x2f(x)?f(x,y)dy?3xdy?3x X （0?x?1）， ????0??当0???y?1时，y?x?1，有
1
fY(y)????f(x,y)dx??y3xdx? （2）显然
3(1?y2) （0?2y?1）；
fX(x)?fY(y)?f(x,y)，所以X和Y不是相互独立的．
20