X 0 1 2 Y 0 9/36 6/36 1/36
1 12/36 4/36 0 2 4/36 0 0
如果是有放回呢，应如何考虑？
C111C2（1） P{X?1|Z?0}?P{X?1,Z?0}P{Z?0}?C262C2?33 ；
C26（2） X只可取0，1；Y可取0，1，2，共有六种可能性：
P{X?0,Y?0}?C23C1132C36C2?，P{X?0,Y?1}?C2?，6156151P{X?0,Y?2}?C221CC1133C2?，P{X?1,Y?0}?2?，615C61511P{X?1,Y?1}?C1C22C2?，P{X?1,Y?2}?0，……
615
例5．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f(x,y)???cx2y,x2?y?1?0,其他
（1）求系数c；（2）求边缘概率密度．
11
解： （1）由 1???????????f(x,y)dx dy21214???cxydxdy?c?xdx?2ydy?c?
?1x212x?y?121所以有 c?4；
（2）fX(x)??????f(x,y)dy，
?212?12124x(1?x),|x|?1xydy,|x|?1??x2?????84 ??0,|x|?1?0,|x|?1?fY(y)??
????f(x,y)dx?75?y212???yxydx,0?y?1?y2,0?y?1 ． ????24??0,其他其他??0,
12例6．[1998年]设平面区域D由曲线y?及直线y?0,x?1,x?e所围成，
x二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则关于X的边缘概率密度在
x?2处的值为 。
解： 首先求联合概率密度。
由于区域D的面积为：SD??e211e2dx?lnx|1?2， x21 ( 区域D为：{(x,y)|1?x?e,0?y?} )
x 12
?f(x,y)??1?,(x,y)?D,所以联合密度为： ?2x,y)?D.
?0,(再求边缘概率密度． 1 fX(x)??????f(x,y)dy??x102dy?122x，(1?x?e) 所以f1X(2)?2?2?14。
题型二：有关条件分布问题
FX|Y(x|y)?P{X?x|Y?y}
称为在条件Y?y下X的条件分布函数；
FY|X(y|x)?P{Y?y|X?x}
称为在条件
X?x下Y的条件分布函数．
x离散型： P{X?xi,Y?yj}i|Y?yj}?P{X?P{Y?y?Pijj}p,i?1,2,? ?jP{Y?y P{Y?yj,X?xi}Pijj|X?xi}?P{X?x?p,j?1,2,?i}i?连续型： ff(x,y)X|Y(x|y)?f(y) fY|X(y|x)?f(x,y)f(x)
YX
例1．已知（X，Y）的联合分布律为
Y 0 1 2 X
13
0 1 2 1/4 0 1/6 1/8 1/3 0 0 0 1/8 试求在Y＝1的条件下，X的条件分布律.
解：第一步，先求Y的边缘分布律：
所以：p?1Y P 0 5/12 1 11/24 2 1/8 ?P{Y?1}?11/24；
第二步，再求各条件概率：
P{X?0,Y?1}p011/83P{X?0|Y?1}????，
P{Y?1}p?111/2411 P{X?1|Y?1}?P{X?1,Y?1}p111/38???，
P{Y?1}p?111/2411P{X?2,Y?1}p210P{X?2|Y?1}????0
P{Y?1}p?111/24 于是在条件Y＝1下，X的分布律是：
例2．设维随机变量X在区间（0,1）上服从均匀分布，在X件下，随机变量Y在区间
X 0 3/11 1 8/11 2 0 pX|Y(xi|1) ?x(0?x?1)条
(0,x)上服从均匀分布，求：
（1）随机变量X，Y的联合概率密度；
14
（2）Y的概率密度； （3）概率P(X?Y?1)．
?1,0?x?1解：（1）X的概率密度为：fX(x)???0,其他，
在条件X?x(0?x?1)下， Y在区间(0,x)上服从均匀分布，
???1?,0?y?x 所以条件密度为：fY|X(y|x)?x ?0,其他 当0?y?x?1时，联合分布密度为：
f(x,y)?f?x)1Y|X(y|Xf(?xx)， 而在其它点(x,y)处，f(x,y)?0，
???1?,0?y?x?1所以 f(x,y)?x；?0,其他 （2）Y的概率密度为：
?fy)????f(x,y)dx??Y(??11ydx0?y?1?????x??lny,0?y?1?0,其他?0,其他； （3）概率
P(X?Y?1)?1x1dx1X???f(x,y)dxdy?Y?1?2?1?xxdy ??1(2x?1)11112xdx??1(2?)dx?1?ln2.
2x
例3．[2009年，三（22）]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
15