例5．[2001，十二]设二维随机变量（X，Y）的联合分布是正方形
G?{(x,y)|1?x?3,1?y?3}上的均匀分布，试求随机变量U?X?Y的概率密度p(u)。
?f(x,y)??1?,1?x?3,1?y?解：注意联合密度为：
?43?0,其它，
以 F(u)?P{U?u}?P{X?Y? 表示随机变量}uU的分布函数， 显然，当 u?0时，F(u)?0； 当 u?2时，F(u)?1； 当
0?u?2时，则
F(u)?P{X?Y?u}?X???f(x,y)dxdy?1Y?uX??dxdy
?Y?u4?14[4?(2?u)2]?1?14(2?u)2； ? 所以 p(u)?F?u(?)?1?(2?u),?0u?2,?2?0,其它.
例6．[2002年]假设随机变量U在区间[-2，2]上服从均匀分布，随机变量X????1,若U??1,??1,若U?1,?1,若U??1;Y???1,若U?1;
求（1）X，Y的联合分布； （2）D（X+Y）.
解：（1） 首先考查X，Y的可能取值：(?1,?1),(?1,1),(1,?1),(1,1),
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再求出概率：P{X??1,Y??1}?P{U??1,U?1}?P{U??1}?1， 4P{X??1,Y?1}?P{U??1,U?1}?P{?}?0， P{X?1,Y??1}?P{U??1,U?1}?P{?1?U?1}?1P{X?1,Y?1}?P{U??1,U?1}?P{U?1}?，
41； 2?(?1,?1)(?1,1)(1,?1)(1,1)??； 所以联合分布为：(X,Y)??1/401/21/4?? （2）X?Y，(X?Y)2的概率分布分别为：
2???202???200X?Y??????
?1/401/21/4??1/41/21/4?4??04??400(X?Y)??????
1/401/21/41/21/2????21? 所以 E(X?Y)?(?2)4 D(
1?0?21?2?，? 04)Y?1(E?X)Y?4?。 ?222X?Y)?E(X?Y)?22E(X?例7．[2003，十二]设随机变量X与Y相互独立，其中X的概率分布为
2??1X???，而
0.30.7??密度g(u)。
Y的概率密度为f(y)，求随机变量U?X?Y的概率
解：注意本题中两个随机变量一个是离散的，一个是连续的，由于X只能取两个值，常用全概率公式求之。
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设F(y)表示随机变量Y的分布函数，由全概率公式：
G(u)?P{X?Y?u}?P?(X?Y?u)?{(X=1)?(X?2)}?
?P(X=1)P(X?Y?u|X=1)?P(X=2)P(X?Y?u|X=2)
?0.3?P(Y?u?1|X?1)?0.7?P(Y?u?2|X?2)
?0.3?P(Y?u?1)P(X?1)P(Y?u?2)P(XP(X?1)?0.7??2)P(X?2)
?0.3?P(Y?u?1)?0.7?P(Y?u?2)
?0.3?F(u?1)?0.7?F(u?2)，
所以
g(u)?G?u(?)0?.F3?u?(?1)?F?0u.?7
(?0.3?f(u?1)?0.7?f(u?2)。
例8．[2005，三（22）]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f(x,y)???1,0?x?1,0?y?2x,?0,其它 求（1）（X，Y）的边缘概率密度fX(x)，fY(y)； （2）Z = 2X - Y的概率密度fZ(z)；
（3）P{Y?12|X?12}。 解：由联合求边缘，求函数分布密度，求条件概率。 （1）当0?x?1??2x时，fX(x)????f(x,y)dy??01?dy?2x，
所以 f(x)???2x,0?x?1,X?0,其它. 同理：0?y?2??时，fY(y)????f(x,y)dx??1y1?dx?1?y22；
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?y?1?,0?y?2,所以
fY(y)???2?0,其它.
（2）先求Z的分布函数： 当z?0时，FZ(z)?0；
当0?z?2时，FZ(z)?P{Z?z}?P{2X?Y?z}
?P{2X?z?Y}???dxdy???dxdy
D1D2z
??2dx?2x12x00dy??zdx2?2x?zdy
?z24?z(1?z2)?z(1?z4)； 当z?2时，FZ(z)??12x0dx?0dy?1；
??0,z?0,F)???z(1?zZ(z),?0z?2, 从而 ?4 ??1,z?2,? 所以fF?1?z,0?z?2,Z(z)?Z?(z)???2?0,其它.
P{Y?1?X?1} （3） P{Y?12|X?1222}?P{X?1， 2}29
11 P{X?12}??221而
??fX(x)dx??02xdx?4，
111P{Y?2?X?}??4dx?2x11220dy??1dx?200dy4?1
16?138?16.?113/16 所以：P{Y2|X?2}?1/4?34。
例9．[2006年，一（5）]假设随机变量X，Y相互独立，且均服从区间[0，上的均匀分布，则P{max{X,Y}?1}= 。
解：P{max{X,Y}?1}?P{X?1,Y?1}?P{X?1}P{Y?1}
P{Y?1}??11 ?P{X?1}11103dx??03dy?9。
例10．[2007，三（23）]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f(x,y)???2?x?y,0?x?1,0?y?1,?0,其它 求（1）P{X?2Y}； （2）Z = X +Y的概率密度fZ(z)；
解：（1）略
（2）同上题解法，注意分段： 当z?0时，FZ(z)?0；当z?2时，FZ(z)?1；
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