学识教育数学必修一导学案
§1.1.1 集合的含义与表示（1） 学习目标 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P2~ P3，找出疑惑之处） 讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体. 集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件. 二、新课导学 ※ 探索新知 探究1：考察几组对象： ① 1～20以内所有的质数；
② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形；
④ x2, 3x?2, 5y3?x, x2?y2； ⑤ 东升高中高一级全体学生； ⑥ 方程x2?3x?0的所有实数根；
⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车；
⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿. 试回答：
各组对象分别是一些什么？有多少个对象？
新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）. 试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？ 探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？ 新知2：集合元素的特征 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征. 确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. 互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性：集合中的元素没有顺序. 只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 . 试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素： ① 不等式x?3?0的解； ② 3的倍数； ③ 方程x2?2x?1?0的解； ④ a，b，c，x，y，z； ⑤ 最小的整数；
⑥ 周长为10 cm的三角形； ⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄； ⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流.
探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？
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新知3：集合的字母表示 试试5：试试2中，哪些对象组成的集合集合通常用大写的拉丁字母表示，集合能用列举法表示出来，试写出其表示.
的元素用小写的拉丁字母表示.
如果a是集合A的元素，就说a属于
(belong to)集合A，记作：a∈A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属
于(not belong to)集合A，记作：a?A. 试试3： 设B表示“5以内的自然数”组 成的集合，则5 B，0.5 B， 0 B， －1 B.
探究4：常见的数集有哪些，又如何表示 呢？
※ 典型例题 新知4：常见数集的表示 例1 用列举法表示下列集合： 非负整数集（自然数集）：全体非负整数① 15以内质数的集合； 组成的集合，记作N； ② 方程x(x2?1)?0的所有实数根组成的正整数集：所有正整数的集合，记作N*集合； 或N+； ③ 一次函数y?x与y?2x?1的图象的交 整数集：全体整数的集合，记作Z； 点组成的集合. 有理数集：全体有理数的集合，记作Q； 实数集：全体实数的集合，记作R. 试试4：填∈或?：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z， ?3 Q，3?2 R. 探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合， 以及常见数集的语言表示等例子，都是用 自然语言来描述一个集合. 这种方法语言 文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方变式：用列举法表示“一次函数y?x的图法呢？ 象与二次函数y?x2的图象的交点”组成的
集合.
新知5：列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括
号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫
做列举法. 注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a} 不同.
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三、总结提升
※ 学习小结
①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法. ※ 知识拓展 集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）. A．某个村子里的高个子组成一个集合 B．所有小正数组成一个集合 C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合 D．1,0.5,,,,1362241这六个数能组成一个4合为（ ）.
A. {0,1} B. {(0,1)} C. {?,0} D. {(?,0)}
4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：
深圳 A； 广州 A. （填∈或?）
5. “方程x2?3x?0的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________. 课后作业 1. 用列举法表示下列集合： （1）由小于10的所有质数组成的集合； （2）10的所有正约数组成的集合； （3）方程x2?10x?0的所有实数根组成的集合. 2. 设x∈R，集合A?{3,x,x2?2x}. （1）求元素x所应满足的条件； （2）若?2?A，求实数x.
§1.1.1 集合的含义与表示（2） 学习目标 1212集合 2. 给出下列关系： ①
1?R；② 22?Q；③?3?N?；④
?3?Q.
其中正确的个数为（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 直线y?2x?1与y轴的交点所组成的集
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1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ③ {x?R|x2?1?0}.
新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为 学习过程 {x?A|P}，其中x代表元素，P是确定条一、课前准备 件. （预习教材P4~ P5，找出疑惑之处） 复习1：一般地，指定的某些对象的全体试试：方程x2?3?0的所有实数根组成的称为 .其中的每个对象叫作 . 集合，用描述法表示为 . 集合中的元素具备 、 、 ※ 典型例题 特征. 例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合与元素的关系有 、 . 集合： 2（1）方程x(x?1)?0的所有实数根组成的复习2：集合A?{x2?2x?1}的元素集合； 是 ，若1∈A，则x= . （2）由大于10小于20的所有整数组成的 集合. 复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1} 的元素分别是什么？四个集合有何关系？ 二、新课导学 ※ 学习探究 思考： ① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}练习：用描述法表示下列集合. 吗？ （1）方程x3?4x?0的所有实数根组成的② 你能用列举法表示不等式x?1?3的解集合； 集吗？ （2）所有奇数组成的集合.
探究：比较如下表示法 ① {方程x2?1?0的根}； 小结： ② {?1,1}；
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用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x?R、x?Z明确时可省略，例如 {x|x?2k?1,k?Z},{x|x?0}.
例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）抛物线y?x2?1上的所有点组成的集合；
※ 动手试试
练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数. ?3x?2y?2（2）方程组?解集.
2x?3y?27?
练2. 已知集合A?{x|?3?x?3,x?Z}，集合 2B?{(x,y)|y?x?1,x?A}. 试用列举法分
别表示集合A、B.
变式：以下三个集合有什么区别. （1）{(x,y)|y?x2?1}；
（2）{y|y?x2?1}；
2（3）{x|y?x?1}.
反思与小结： ① 描述法表示集合时，应特别注意集合的 代表元素，如{x(y,?)y2|?x与1}
{y|y?x2?1}不同.
② 只要不引起误解，集合的代表元素也可三、总结提升 省略，例如{x|x?1}，{x|x?3k,k?Z}.
※ 学习小结
③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例
1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举
如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必
法、描述法）；
写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也
2. 会用适当的方法表示集合；
是错误的.
④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具
※ 知识拓展
体问题确定采用哪种表示法，要注意，一
1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例般集合中元素较多或有无限个元素时，不
如： 宜采用列举法.
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